Gleichungssystem mit 3 Variablen durch Einsetzungsverfahren lösen

Question

Aufgabe

Gleichungssystem mit 3 Variablen durch Einsetzungsverfahren lösen

2x+3y+5z=8

x+y-2z=7

3x-y+z=2

Problem/Ansatz

zunächst stelle ich in der letzten Zeile nach z um

z=-3x+y+2

dies setzte ich in die 1. Zeile ein

2x+3y+5(-3x+y+2)=8

das Ergebnis kann ich wieder nach der Variablen umstellen, habe mir y gewählt

y=13/8x+1/4

die Umstellungen für y und z setzte ich jetzt in die zweite Gleichung ein und erhalte x=2,1

Setze ich den x Wert nun in die Umstellungen von y und z erhalte ich y=3,6 und z=-0,7

Die Ergebnisse unterscheiden sich sehr stark von den im TR errechneten Werten - was wahrscheinlich an den Brüchen liegt?

Ist das Gleichungssystem dennoch richtig gelöst und kann ich bei jeder Gleichung so vorgehen?

Answer 1

2·x + 3·y + 5·z = 8
x + y - 2·z = 7
3·x - y + z = 2 --> z = - 3·x + y + 2

2·x + 3·y + 5·(- 3·x + y + 2) = 8 --> y = 13·x/8 - 1/4

Da hast du vermutlich einen Vorzeichenfehler irgendwo gemacht. Prüfe das mal.

Theoretisch könntest du so vorgehen. Das Einsetzungsverfahren ist aber wie du eventuell merkst wesentlich aufwendiger als das Additionsverfahren

2·x + 3·y + 5·z = 8
x + y - 2·z = 7
3·x - y + z = 2

I - 2*II ; III - 3*II

y + 9·z = -6
7·z - 4·y = -19

II + 4*I

43·z = -43 --> z = -1

Answer 2

Du sollest grundsätzlich so vorgehen, dass Du eine Gleichung in BEIDE anderen einsetzt, so daß Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast. Das Verfahren reduziert n Gleichungen auf n-1 Gleichungen und man verheddert sich nicht...

1. {2x + 3y + 5z = 8, x + y - 2z = 7, 3x - y + z = 2}

2. { z = -3x + y + 2}

3.{-13x + 8y + 10 = 8, 7x - y - 4 = 7 }

4.{y = 7x - 11}

5.{43x - 78 = 8}

x=2

jetzt kannst Du mit 4. y bestimmen und beide in 2. einsetzen...

Comments

Ich komme mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren
zun gleichen Ergebnis und denke gerade, dass es doch ein Einsetzverfahren ist, nur dass die Schreibweise etwas anders ist.

2 3 5  8
1 1 -2 7
3 -1 1 2

1 1 -2 7
0 1  9 -6
0 -4 7 -19

1 0 -11 13
0 1   9    -6
0  0  43 -43

1 0 0      2 = x
0 1  0     3 = y
0  0  1   -1 = z

---

Kann man sagen...

Du hast zuerst x eingesetzt (eliminiert) und mit den Gleichunge(y,z)  weitergerechnet und zuerst z bestimmt.

Und wenn ich

{2x+3y+5z=8, x+y-2z=7 , 3x-y+z=2}

{x = 2.1, y = 3.6, z = -0.7} einsetze erhalte ich

{11.5 = 8, 7.1 = 7, 2 = 2}

eine flasche Aussage!

Answer 3

Allgemeine Vorgensweise

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * x + 7 * y = 12
3 * x + 6 * y = 1

4 * x + 7 * y = 12  | * 3
3 * x + 6 * y = 1  | * 4

12 * x + 21 * y = 36
12 * x + 24 * y = 4 | abziehen
--------------------------
21y - 24y = 32

So kannst du auch aus 3 Gleichungen mit
3 Unbekannten 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
machen.
Kann das an deinem Beispiel auch mal vorführen.