Wieso hat jede nichtleere Menge M genau eine einelementige Partition {M} also die triviale Partition? Existenz?

Question

Aufgabe:

Wieso hat jede nichtleere Menge M genau eine einelementige Partition {M}

also die triviale Partition? Und wieso existiert überhaupt immer eine Partition von M, ich mein in M könnten doch auch Elemente drinliegen die keine Relation haben?

Problem/Ansatz:

Wenn zum Bsp. M={{Menge aller Geraden},{Menge aller Ebenen}} ist, wie kann ich dann eine einelementige Partition definieren? Die beiden Teilmengen liegen doch in 2 ganz unterschiedlichen Äquivalenzklassen, was haben sie gemeinsam, dass man sie in eine einzige einelementige Partition zerlegen könnte? Verstehe ich die Aussage falsch?

Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe! Vielen Dank für eine Antwort im Voraus!

Answer 1

was haben sie gemeinsam, dass man sie in eine einzige einelementige Partition zerlegen könnte?

Deine Menge M hat zwei Elemente.

das eine ist die Menge, die die Menge aller Geraden enthält

und das andere die Menge, die die Menge aller Ebenen enthält.

Die triviale Partition ist immer diejenige, die nur die Menge selbst

enthält.

Comments

Ganz lieben Dank für deine Antwort Mathef!

Ich bin noch bisschen verwirrt, weil wenn ich zum Beispiel keine 3 Äquivalenzklassen hätte, sondern nur sagen wir 3 Elemente z.B. M={f(x)=2x-3, 3+2i, eine Matrix}, dann existiert doch garkein Partition von M, denn wenn ich eine Partition hätte, dann hätte man auch automatisch eine ÄR, aber wenn ich eine ÄR habe, dann muss ich doch mindestens 3 Elemente allein in der ÄK haben z.B. um Transitivität zz. oder denke ich gerade falsch?

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Bei der Transitivität heißt es doch

Wenn (x,y) ∈ R und ( y,z) ∈ R

dann (x , z) ∈ R.

Wenn du nur ein Paar in der Relation hast,

gilt die Voraussetzung

"Wenn (x,y) ∈ R und ( y,z) ∈ R "

nur für x=y=z . Und da gilt dann auch

(x , z) ∈ R.

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Allright!

D.h. ich kann M = {1,1,1} als gültige Menge haben, somit bildet M eine ÄK wobei x=y=z=1, aber bräuchte man dann nicht trotzdem mindestens 3 Elemente auch wenn es die gleichen sind um Transitivität zz.?