Aufgabe:
In einer Multiple-Choice-Klausur gelten die folgenden Bedingungen: Jede Frage besteht aus
vier Aussagen. Jede der Aussagen kann einzeln entweder als richtig oder als falsch markiert
werden. Es gilt das folgende Bewertungsschema:
• Sind alle vier Aussagen korrekt als richtig oder falsch markiert, wird die Frage mit einem Punkt bewertet.
• Ist genau eine Aussage inkorrekt markiert (die drei anderen aber korrekt), wird die Frage mit einem halben Punkt bewertet.
• Ansonsten (also wenn zwei oder mehr Aussagen inkorrekt markiert sind), gibt es keinen Punkt.
Sei X die Zufallsgröße, die die erhaltenen Punkte für eine einzelne Frage beschreibt, wenn man für jede der vier Aussagen zufällig gleichverteilt lost, ob sie als richtig oder als falsch
markiert wird.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert E[X].
Geben Sie das Ergebnis als gekürzten Bruch und Ihre Rechnung an.
b) Berechnen Sie die Varianz Var[X] von X. (3 P)
Geben Sie wieder das Ergebnis als gekürzten Bruch und Ihre Rechnung an.
c) Die Klausur habe 16 Fragen der oben beschriebenen Art.
Wie groß sind dann Erwartungswert und Varianz der erreichten Gesamtpunkte für alle
Fragen, wenn man weiterhin für jede Aussage einzeln lost? Geben Sie wieder das Ergebnis
als gekürzten Bruch und Ihre Rechnung an.
d) Die Klausur gelte ab 10 Punkten als bestanden.
Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit die Klausur zu bestehen, wenn man wie oben beschrieben bei allen Aussagen rät, höchstens 30% beträgt.
Problem/Ansatz:
Die a) bis c) habe ich hoffentlich richtig gelöst, jedoch weiß ich nicht wie ich ohne Taschenrechner (ist eine Klausuraufgabe ohne Taschenrechner) die Aussage aus d) beweisen soll.
Da gibt es bestimmt einen Trick...
Für die a) habe ich E(X)= 3/16
Für die b) habe ich Var(X) = 23/256
Für die c) habe ich: Sei Y=16*X \(\Rightarrow\) E(Y) = 16*E(X)= 23/16 und Var(Y) = 16^2 * Var(X) = 23
zur d)
Ich habe die Formel für Binomialverteilung ausgepackt und wollte folgendes berechnen: \( \sum\limits_{k=40}^{64}{\binom{64}{k}*\frac{1}{2}^64} \) da dies ja die Wahrscheinlichkeit für mindestens 10 von 16 Punkten wäre (jede Frage hat ja 4 Aussagen).
Ich habe da dann mit Aussagen über den Binomialkoeffizient rumgepfuscht, aber das hat mich auch nicht auf die Lösung gebracht . Ich habe die Summe aller binomialkoeffizienten = 2^n und dann deren Durchschnittsgröße (2^n)/n mal 24 gerechnet was dann \( \frac{3}{8}\) war.
Der Anteil der Wahrscheinlichkeiten der Summe \( \sum\limits_{k=40}^{64}{\binom{64}{k}*\frac{1}{2}^64} \) ist ja \( \frac{24}{64} \).
Wenn man das irgendwie zusammwurstelt kommt man ungefähr auf 0,3 ; aber denke nicht dass das so passen würde.
Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen wie man die d) einfach berechnen kann?
