Lösung der Differentialgleichung - Anfangsbedingung: f'(x) = 1 + (f(x))² und f(0)=0

Question

Die Funktion \( f \) sei die Lösung der folgenden Differentialgleichung mit Anfangsbedingung:

\( f^{\prime}(x)=1+(f(x))^{2}, \quad f(0)=0 \)

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialgleichung, dass \( f \) streng monoton wachsend ist.

b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades von \( f \) in der Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \).

Ansatz:

Eigentlich muss ich doch erstmal herausfinden,wie die eigentliche Funktion lautet bevor ich die Fragen bearbeiten kann oder?

Answer 1

Hi,

ich bin die Sache so angegangen..

da die Ableitung von f(x) gegeben ist und immer größer gleich 1 ist für alle x aus ℝ, folgt daraus dass f(x) streng monoton wachsend sein muss..

Das Taylorpolynom bekommt man indem man einfach weiter ableitet..

Das Taylorpolynom müsste dann eig so aussehen..

Grüße

Comments

Wie kommst du auf dieses T(x)= x+ x^3/6 ?

wie kommt man darauf dass man das so schreiben kann?

---

Ein allgemeines Taylorpolynom einer Funktion f ist ja so definiert:

T(x)=f(x₀)+f¹(x₀)(x-x₀)+f²(x₀)(x-x₀)²/2!+...+fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!

Ich hab dann einfach die Entwicklungsstelle eingesetzt..

f¹(x₀)=1+(f(x₀))²=1+0=1

f²(x₀)=2*f(x₀)*f¹(x₀)=0*1=0

f³(x₀)=2(f¹(x₀))²+2*f(x₀)*f²(x₀)=2*1+2*0=2 hier merk ich grad hab ich mich oben verrechnet..

Das Taylorpolynom müsste dann so aussehen

T(x)=x+2x³/6