Differentialgleichung mit Anfangsbedingung: y´(1+x²) -xy = 0, wobei y(0)=1

Question

Kann ich diese Aufgabe mit Trennung der Variablen lösen ?

Ich komme dann auf:

ln y = ln(x²+1)/2 + C 

Aber dann weiß ich nicht weiter.

Answer 1

Hallo Hans,

korrigierte Antwort: das \(\frac12\) gehörte ja hinter das \(\ln\) - also alles \(e^x\) nehmen und Du erhältst

$$y(x)=C \cdot \sqrt{x^2+1}$$

Die Ableitung ist \(y=\frac{x \cdot C}{\sqrt{x^2+1}}\) - Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung:

$$\frac{x \cdot C \cdot (1+x^2)}{\sqrt{x^2+1}} - x \cdot C \cdot \sqrt{x^2+1} = 0$$

nach Multiplikation mit \(\sqrt{1+x^2}\) heben sich beide Terme zu 0 auf.

Wenn Du \(y(0)=1\) oben in die Funktion für \(y(x)\) einsetzt, so erhältst Du \(C=1\)

Comments

Antwort korrigiert ...

Answer 2

Kann ich diese Aufgabe mit Trennung der Variablen lösen ? ->JA

ln |y| = ln(x²+1)/2 + C  | e hoch

 |y| =e^{ ln(x²+1) }^{1/2} +C)

y= √ (x^2+1)  * ±e^C

y= √ (x^2+1)  * C₁

_{Jetzt noch die AWB einsetzen:}

_{1= C1}

_--------->

_Ergebnis:

y= √ (x^2+1)