Hallo Anonym, wenn du folgendes in WolframAlpha eingibst →
solve f´´(x)-f(x)=x*e^x
erhältst du als Lösung →
f(x)=c1*e^x+c2*e^{-x}+(e^x)*(x^2)/4-(e^x)*x/4
die lässt sich noch vereinfachen zu →
f(x)=(c1+(x^2)/4-x/4)*e^x+c2*e^-x
c1 und c2 sind hier Konstanten.
Geben wir folgendes in WolframAlpha ein -->
(f(x)=(c1+(x^2)/4-x/4)*e^x+c2*e^-x)´
erhalten wir →
f´(x)=(1/4)*(e^-x)*(4*c1*e^{2*x}-4*c2+e^{2*x}*x^2+e^{2*x}*x-e^{2*x})
Geben wir folgendes in WolframAlpha ein →
(f´(x)=(1/4)*(e^-x)*(4*c1*e^{2*x}-4*c2+e^{2*x}*x^2+e^{2*x}*x-e^{2*x}))´
erhalten wir →
f´´(x)=(1/4)*(e^-x)*(4*c1*e^{2*x}+4*c2+e^{2*x}*x^2+3*e^{2*x}*x)
Deine Anfangsbedingungen lauten y(0)=1 und y´(0)=-1
Das führt auf ein nichtlineares Gleichungssystem →
(c1*e^0+c2*e^{-0}+(e^0)*(0^2)/4-(e^0)*0/4)=1
((1/4)*(e^-0)*(4*c1*e^{2*0}-4*c2+e^{2*0}*0^2+e^{2*0}*0-e^{2*0})=-1
Das vereinfacht sich zu →
c1+c2=1
c1-c2-1/4=-1
c1= 1/8
c2= 7/8
Ich habe im Internet auch noch einen Link gefunden, wie man das ganze ohne WolframAlpha löst, der lautet →
http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=lineare%20inhomogene%20dgl%202.%20ordnung&source=web&cd=4&cad=rja&ved=0CD8QFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.sibbarp.de%2F2_GMA2%2FGMA2_DGL2.pdf&ei=oBToUZ3GIYaVPaqGgKgP&usg=AFQjCNEoBuRW7ZyxvHrmteSWZzTnYt6Tjw
Ich persönlich halte das Ganze für viel zu viel Rechenaufwand, ist es so wichtig die allgemeine Lösung in geschlossener Form zu haben ???, die hat man ja schließlich bei vielen Integralen auch nicht ! Ich persönlich würde ja einen sogenannten Koeffizientenvergleich durchführen, in dem ich den Ausdruck x*e^x in eine Polynomreihe verwandle, das Taylorpolynom von e^x ist ja bekannt.
Wie das weitergehend funktioniert findest du unter diesem Link ab Seite 19 der PDF-Datei →
http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=inhomogene%20lineare%20differentialgleichung%202.%20ordnung%20potenzreihenentwicklung&source=web&cd=1&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.pi5.uni-stuttgart.de%2Fde%2Fteaching%2Flectures%2Fshow_file.php%2Flectures%2F73%2Fvorl_10-12.pdf&ei=uBvoUaDzBsGIOJeLgagP&usg=AFQjCNG3y8YMh1eHA-KKLRnIlIunmRO9ww&bvm=bv.49478099,d.ZWU
Ausserdem wird die Potenzreihenentwicklung in dem Buch WALTER, GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, 5. AUFLAGE, SPRINGER-VERLAG ab Seite 79 beschrieben.
