homogene lineare gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung

Question

Betrachten Sie die homogene lineare gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung

$$ y^{\prime \prime}+y=0, \quad a \leq t \leq b $$

a) Überprüfen Sie, dass die allgemeine Losung dieser Gleichung durch \( y(t)=C_{1} \sin t+C_{2} \cos t \) \( C_{1}, C_{2} \in \mathbb{R} \) gegeben ist.

b) Betrachten Sie das Randwertproblem
$$ y^{\prime \prime}+y=0 \text { auf }\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \quad \text { mit } y(0)=0, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 $$
Besitzt dieses Problem eine Losung? Wenn ja, ist die eindeutig?

kann mir jemand erklären, wie man beide Teile dieser Frage löst?

Answer 1

Hallo,

a) y'' +y=0

y=C1 sin(t) +C2 cos(t)

y'=C1 cos(t) -C2 sin(t)

y''=- C1sin(t) -C2 cos(t)

->Einsetzen in die DGL:

- C1sin(t) -C2 cos(t) +C1 sin(t) +C2 cos(t) =0

0 =0

die allg. Lösung stimmt.

Comments

Reicht das\(\)?

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wie man die zweiter Teil(b) dieser Frage löst? Also das Randwertproblem