Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade g und eine Ebene E.

g:x = \( \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \) + r \( \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \)

E:x = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) + r \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \)

a) Geben Sie zunächst die allgemeinen Bedingungen an, unter denen g

– parallel zur Ebene E verläuft
– in der Ebene E liegt.

b) Prüfen Sie, wie die Gerade g zur Ebene E verläuft!

Problem/Ansatz:

zu a) Ich verstehe zwar was allgemeine Bedingungen im Generellen bedeuten, jedoch verstehe ich sie in diesem Fall nicht.

zu b) Ich habe die Koordinatenform von E aufgestellt und g eingesetzt. Am Ende kam 0=0 heraus. Bedeutet dies Parallelität?

Answer 1

Aloha :)

\(g\) verläuft parallel zu \(E\), falls (a) der Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren der Ebene ist (d.h. wenn alle 3 Richtungsvektoren linear abhängig sind) oder (b) Der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf einem Normalenvektor der Ebene steht (d.h. das Skalarprodukt ist null).

\(g\) liegt in der Ebene \(E\), falls \(g\) parallel zu \(E\) verläuft und ein Punkt von \(g\) auch in \(E\) liegt, z.B der Aufpunkt der Geraden.

Wir prüfen das nun nach, indem wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene bestimmen:$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-(-3)\\1-0\\6-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}$$Diesen multiplizieren wir mit dem Richtungsvektor der Geraden:$$\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\-1\\-2\end{pmatrix}=15-1-14=0$$Ein Normalenvektor der Ebene steht also senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden, damit veläuft die Gerade parallel zur Ebene.

Wir prüfen nun, ob der Aufpunkt der Geraden \((-1;5;0)\) in der Ebene liegt und stellen dazu zunächst die Ebenengleichung in Normalform auf.

$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$$$$3x+y+7z=9+0-7$$$$3x+y+7z=2$$Wir setzen den Aufpunkt \((-1;5;0)\) ein:$$3\cdot(-1)+5+7\cdot0\stackrel{?}{=}2$$$$-3+5=2\quad\checkmark$$Das heißt, der Aufpunkt der Geraden liegt in der Ebene. Also muss wegen dem ersten Teil der Aufgabe (Gerade parallel zur Ebene) die Gerade vollständig innerhalb der Ebene verlaufen.

Comments

Danke schön, endlich hab ich den Vorgang verstanden.

Answer 2

Eine andere Möglichkeit die allerdings rechenaufwändiger ist ist die Ebene und die Gerade in einem linearen Gleichungssystem gleichzusetzen.

[3, 0, -1] + r·[2, 1, -1] + s·[-1, 3, 0] = [-1, 5, 0] + t·[5, -1, -2]

a)

Gibt es jetzt keine Lösung, ist die Gerade parallel zur Ebene.
Gibt es genau eine Lösung, schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.
Gibt es unendlich viele Lösungen, liegt die Gerade in der Ebene.

b)

2·r - s + 3 = 5·t - 1
r + 3·s = 5 - t
-r - 1 = - 2·t --> r = 2·t - 1

2·(2·t - 1) - s + 3 = 5·t - 1 --> s = 2 - t
(2·t - 1) + 3·s = 5 - t --> s = 2 - t

Wir sehen jetzt das die letzten Gleichungen identisch sind und es somit unendlich viele Lösungen gibt. Daher liegt die Gerade in der Ebene.

Wenn man für lineare Gleichungssysteme den Taschenrechner nutzen darf ist dieses Verfahren sogar etwas schneller als zunächst den Normalenvektor zu bestimmen. Muss man allerdings lineare Gleichungssysteme händisch ausrechnen würde ich eher den anderen Weg empfehlen, weil er weniger Rechenanfällig ist.