Bestimmtes Integral berechnen: f(x) = x*ln(x+3)

Question

Integral berechnen:

\( \int \limits_{-1}^{1} x \ln (x+3) \)

Ich habe es so versucht:

\( =\left\langle^{\prime \prime}(x+3)=r \text { und }(r-3)=x^{\prime \prime}\right\rangle \ln (r)^{*}\left(0.5 * r^{2}-3 r\right)-\int \limits_{-1}^{1} \frac{1}{r} \quad *(r-3) d r \)
\( =\ln (r)^{*}\left(0.5 * r^{2}-3 r\right)-(r-3)^{*} \ln (r)-\int \limits_{-1}^{1} \ln (r) \)
\( =\ln (r) *\left(0.5 * r^{2}-3 r\right)-(r-3)+(n(r)-r(\ln (r)-1)((\text{von -1 zu 1})) \)
\( \left.=\ln (x+3) *\left(0.5 * r^{2}-3 r\right)-(r-3)^{2}-3(x+3)\right)-r(\ln (r)-1)(( \text{von -1 zu 1}) \)
\( =\ln (x+3) *\left(0.5 *(x+3)^{2}-3(x+3)\right)-(x) * \ln (x+3)-(x+3) *(\ln (x+3)-1)\left(\left(^{\prime \prime}\right)\right) \)
\( =\ln (4) *\left(0.5 *(4)^{2}-3(4)\right)-(1) * \ln (4)-(4) *(\ln (4)-1)-\ln (2) *\left(0.5 *(2)^{2}-3(2)\right)-(-1) * \ln (2)-(2) *(\ln (2)-1) \)

Nun seht ihr wahrscheinlich einen Fehler, Wolfram weiss jedenfalls, dass dies nicht die richtige Antwort ist.

Was mache ich falsch?

Answer 1

Hi centrino,

Sry Deine ersten Zeilen sind mir zu schnell.

Das eigentliche Vorgehen ist (Dein Ansatz bzgl Subst. war korrekt):

u = x+3 und damit du = dx

Das ist dann summandenweise geschrieben:

$$\int u\ln(u)du - 3\int \ln(u) du$$

Partiell integrieren:

f = ln(u) und g' = u

f' = 1/u und g = 1/2u²

$$=\frac12u^2\ln(u)-\frac12\int u du-3\int\ln(u) du$$

Nochmals partiell integrieren:

f = ln(u) g' = 1

f' = 1/u g = u

Insgesamt also:

$$= -\frac{u^2}{4}+\frac12u^2\ln(u)+3u-3u\ln(u)$$

Resubstituieren und Grenzen einsetzen:

3-ln(16) ≈ 0,227

 

Prinzip klar? Vielleicht findest Du dadurch selbst Deinen Fehler.

Grüße