Vektoren: Parallele zur Schnittgeraden der Ebenen

Question

Aufgabe:

gesucht ist die Gerade durch P1 parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen.

Gegeben P1=(1,5,3)und P2(-1,1,-3)und die beiden Ebenen E1:x+y+z=3, E2 :2x-y-z=0

Problem/Ansatz:

wie kann man das lösen?

Ich würde mich auf Ihre Vorschläge freuen

Comments

Das Bild zur Aufgabe:

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gibt keine andere Darstellung, denn verstehe nicht diese

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gibt keine andere Darstellung, denn verstehe nicht diese

Diesen Satz verstehe ich nicht!

Tipp: klick auf das Bild oben, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D, und rotiere die Szene mit der Maus.

Answer 1

E1: x + y + z = 3
E2: 2x - y - z = 0

Du brauchst zunächst einmal den Richtungsvektor der Scvhnittgeraden. Dazu könntest du das Kreuzprodukt der Normalenvektoren nehmen.

[1, 1, 1] ⨯ [2, -1, -1] = [0, 3, -3] = 3·[0, 1, -1]

Jetzt kannst du als Stützvektor noch P1 nehmen und damit die Gerade Aufstellen.

g: X = [1, 5, 3] + r * [0, 1, -1]

Ich denke wesentlich einfacher wird man das nicht hinbekommen.

Comments

Ist das hier X = [1, 5, 3] + r * [0, 1, -1]
wie x= ax +b .Das möchte ich wissen

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Danke sehr :)

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Zumindest fast. Wenn a und b eben Vektoren sind und x eine reelle Zahl.

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Ja danke für Ihre Hilfe

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wie könnte man die Frage beantworten

geben sie die Paramaterdarstellungen beiden Ebenen

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Du sollst die Parameterdarstellung der beiden Ebenen

E1: x + y + z = 3
E2: 2x - y - z = 0

angeben.

Suche 3 Punkte die auf jeder Ebene liegen

E1: [3, 0, 0] ; [0, 3, 0] ; [0, 0, 3]
E2: [0, 0, 0] ; [1, 2, 0] ; [1, 0, 2]

Jetzt kannst du eine Parameterform über die drei Punkte aufstellen. Das solltest du schaffen oder?

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Hallo

wie haben zuerst sie diese Zahlen gefunden?

Answer 2

Finde 3 Punkte auf E₁, z.B. (1|1|1); (2|1|0); (2|-1|2) und dann die Parameterform von E1:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) .

Schreibe E₂ in Normalenform: \( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =0.

Setze E₁ in E₂ ein und erhalte eine Beziehung zwischen r und s. Setze diese in E₁ ein und bestimme den Richtungsvektor der Schnittgeraden, der ja auch Richtungsvektor der gesuchten Geraden ist.

Answer 3

Schnittgerade mit

x+y+z=3 und  2x-y-z=0

addieren gibt 3x = 3 , also x=1

eingesetzt

1+y+z=3 und 2-y-z=0 also kurz

für beide y= 2-z und somit Lösungsmenge

alle Punkte mit ( 1 ;  2-z ; z )

= ( 1 ; 2 ; 0 ) + z* ( 0 ; -1 ; 1 ).

Richtungsvektor der Schnittgeraden also ( 0 ; -1 ; 1 ).

Parallele durch P1=(1,5,3) hat die Gleichung

x = (1,5,3) + t *  ( 0 ; -1 ; 1 ).

Comments

Hallo

Danke für Ihre Antwort .Allerdings habe ich noch paar Fragen

sollten wir so immer machen ?das heißt zuerst x,y  determinieren?

ab  alle Punkte mit (1,2-z;z)  ich verstehe nichts mehr

wo nehmen Sie(1;2;0) +Z*(0;-1;1)?

danke für die Erklärung

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alle Punkte mit (1,2-z;z)

kann man doch schreiben als

alle Punkte mit (1+0*z,2+(-1)*z;0+1*z)

und dann aufteilen in

( 1 ; 2 ; 0 ) +  ( 0*z ; -1*z ; 1*z )

=  ( 1 ; 2 ; 0 ) + z* ( 0 ; -1 ; 1 ).

Und das ist die Parameterform einer Gleichung der

Geraden durch ( 1 ; 2 ; 0 )  mit Richtungsvektor  ( 0 ; -1 ; 1 ).

Damit hast du die Richtung der Schnittgeraden.

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Haben Sie keine andere Methode?

ich verstehe nicht diesen Schritt

kann man doch schreiben als

alle Punkte mit (1+0*z,2+(-1)*z;0+1*z)

und dann aufteilen in

( 1 ; 2 ; 0 ) +  ( 0*z ; -1*z ; 1*z )

=  ( 1 ; 2 ; 0 ) + z* ( 0 ; -1 ; 1 ).

in welcher Gleichung ersetzen Sie (1;2-z,z)

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{ (1;2-z,z) | z∈ℝ} .  Das ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems,

das aus den beiden Ebenengleichungen besteht, also ist das die

Menge aller Punkte auf der Schnittgeraden.