In welchem Flächenverhältnis steht weiß zu schwarz im Inneren des Kreises?

Question

Der kleinste Kreis auf einem Schachbrett, der nur durch weiße Felder läuft, sieht so aus:

In welchem Flächenverhältnis steht weiß zu schwarz im Inneren des Kreises?

Answer 1

Wenn die Quadrate die Seitenlänge 2e haben, dann hat der Kreis den

Radius r=e√10. Denn vom Mittelpunkt e nach rechts und 3e nach oben

ergibt ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse r.

gesamte Kreisfläche also A_k= ( e√10)^2 * pi = 10pi e^2.

schwarz sind 4*(2e)^2 = 16e^2 weiß also (10pi-16)e^2.

Flächenverhältnis steht weiß zu schwarz

(10pi-16) : 16 ≈ 0,96

Answer 2

a = Seitenlänge Quadrat
Diagonale Kreis : Quadrat rechts oben bis links unten
Pythagoras
a^2 + (3a)^2 = d^2
d^2 = 10 a^2
d = a * √ 10

Fläche 4 Quadrate : a^2 * 4
Fläche Kreis : (d / 2)^2 * pi = (  a * √ 10 / 2 ) ^2 * pi
Fläche Kreis : a^2  * 10 / 4 * pi
Fläche Kreis weiß : a^2  * 10 / 4 * pi - a^2 * 4
a^2 * ( 10 / 4 * pi - 4 ) = 3.854 * a^2
Verhältnis
Kreis weiß / Quadrate schwarz
3.854 * a^2 / (4*a^2)
3.854 / 4

Comments

@Georg: Deine Lösung ist (bis auf Rundung) richtig, aber im Lösungsweg stimmt dieses Gleichheitszeichen nicht: a² * ( 10 / 4 * pi - 4 ) = 3.854 * a².

---

a^2 * ( 10 / 4 * pi - 4 ) = 3.854 * a^2
Kann keinen Fehler entdecken

---

Ich weiß, dass du 10 / 4 * pi - 4  = 3.854 für zutreffend hältst. Was ist mit 10 / 4 * pi - 4  = 3.853981633? Ist das zutreffender? Hat "zutreffend" einen Komparativ?

---

Anstelle von
a^2 * ( 10 / 4 * pi - 4 ) = 3.854 * a^2.
wäre zutreffender
a^2 * ( 10 / 4 * pi - 4 ) ≈ 3.854 * a^2.

Du könntest dich aber auch an der
gelungenen optischen Präsentation
meiner Antwort efreuen.

---

@ Georg: Über deine Lösung (einschl. Darstellung) habe ich mich natürlich gefreut. Bisher wolltest du nicht einsehen, warum mich einige deiner Gleichheitszeichen stören. Da scheinst du jetzt umzudenken.

---

Da scheinst du jetzt umzudenken.
Nein.

Mein Verhältnis zu Ergebnissen ist meist folgendes.
In meinem ersten Berufsleben hab ich Physiklaborant gelernt.
Messwerte treten dort als reelle Zahlen
mit Meßungenauigkeit auf
z.B. 5.67 ± 0.13 auf.
Da dies Stahluntersuchungen waren wurde dem Kunden weder
z.B. Legierungsgehalt Chrom
5.67 % ± 0.13 % noch
≈ 5,67 % angegeben sondern
= 5.67 %
Dies ist dort so üblich.

Das werde ich wohl bist zu meinem
Lebensende so beibehalten.

---

Mir ist klar, dass in der Praxis irrationale Werte keinen Sinn machen. Mathematisch ist aber √2≠1,4142 und sogar \( \frac{2}{3} \) ≠0,6667.