Wieso gilt, dass falls U ⊂ V ein UR von V ist und zusätzlich dimU ∞ ⇒ dimU = dimV ⇔ U = V?

Question

Aufgabe:

Wieso gilt, dass falls  U ⊂ V  ein UR von V ist und zusätzlich dimU <  ∞ ⇒  dimU =  dimV  ⇔  U = V?

Problem/Ansatz:

Wenn ich doch z.B.  dimV = ∞  habe und dimU < ∞  , dann stimmt doch die Aussage dimU  =  dimV nicht?

Ich wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Wenn ich doch z.B. dimV = ∞  habe und dimU < ∞, dann stimmt doch die Aussage dimU =  dimV nicht?

Dann ist von der Äquvalenz

        dimU =  dimV ⇔  U = V

die linke Seite nicht erüllt. Damit die Äquivalenz erfüllt ist, darf die rechte Seite der Äquivalenz auch nicht erfüllt sein.

falls U ⊂ V ein UR von V ist und zusätzlich dimU <  ∞ ⇒  dimU =  dimV ⇔  U = V?

Das ist sehr unglücklich formuliert. Wenn du in einem Satz das Wort "falls" verwendest, dann solltest du auch das Wort "dann" verwenden. Insbesondere solltest du es nicht durch logische Symbole abkürzen. Gemeint ist wohl

    Falls U ⊂ V ein UR von V ist und zusätzlich dimU <  ∞ gilt,
    dann gilt dimU =  dimV ⇔  U = V.

Comments

Ja genau gemeint war "Falls U ⊂ V ein UR von V ist und zusätzlich dimU <  ∞ gilt,
  dann gilt dimU =  dimV ⇔  U = V. " tut mir Leid!

Heißt es nun, dass diese Aussage von der Vorlesung falsch ist?

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Heißt es nun, dass diese Aussage von der Vorlesung falsch ist?

Nein, das heißt es nicht. Was hat dich zu dieser Vermutung verleitet?

Hier ist eine Äquivalenz:

        A ⇔ B.

Diese Äquivalenz ist unter folgenden Umständen wahr:

1. Wenn sowohl A als auch B wahr sind.
2. Wenn sowohl A als auch B falsch sind.
   

So ist "⇔" nun mal definiert.

In deinem Fall ist A die Aussage dimU = dimV und B die Aussage U = V.

Wenn ich doch z.B. dimV = ∞  habe und dimU < ∞

Dann ist A falsch.

Wenn jetzt auch noch B falsch ist, dann ist A ⇔ B wahr.

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Wow super vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung jetzt hat's klick gemacht!

Wünsch dir noch einen schönen Tag!