Konvergenz einer Reihe zeigen

Question

Ich soll zeigen, dass die Reihe

\( C(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n} \)

für alle x ∈ ℝ abs. konvergiert

Ich weiss nicht wie das geht

Würde das hierzu ausreichen oder muss ich es rechnen? :

1) Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium für alle x aus IR absolut.

sei a_n=(-1)n/(2n)! dann ist der Konvergenzradius r := limsup |a_n/ a_{n+1} | → Unendlich für n gegen Unendlich.

Somit absolute Konvergenz für alle x aus IR mit |x|< Unendlich. Also ganz IR.

Answer 1

Gezeigt werden soll, dass die Reihe$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \frac { { (-1) }^{ n } }{ (2n)! } { x }^{ 2n } } }$$absolut konvergiert. Anwendung des Quotientenkriteriums mit$${ a }_{ n }=\frac { { (-1) }^{ n } }{ (2n)! } { x }^{ 2n }$$liefert:$$\left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  \right|=\left| \frac { \frac { { (-1) }^{ n+1 }{ x }^{ 2n+2 } }{ (2n+2)! }  }{ \frac { { (-1) }^{ n }{ x }^{ 2n } }{ (2n)! }  }  \right|$$$$=\left| \frac { { (-1) }^{ n+1 }{ x }^{ 2n+2 }(2n)! }{ { (-1) }^{ n }{ x }^{ 2n }(2n+2)! }  \right|$$$$=\left| \frac { { (-1) }{ x }^{ 2 } }{ (n+1)(n+2) }  \right|$$$$=\frac { { x }^{ 2 } }{ (n+1)(n+2) }$$Aus$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ (n+1)(n+2) } =0 }$$folgt dann die absolute Konvergenz der Reihe.