Was muss man bei der Wahl der Basisvektoren eines Kerns einer Matrix beachten?

Question

Ich hätte eine Verständnisfrage zum Thema Kern einer Matrix.

Sei $$Kern(A) =Kern( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix})$$. Man sieht, die Dimension ist 2, also gibt es 2 linear unabhängige Basisvektoren, die diesen Kern spannen. Meine Frage lautet, wie wählt man diese Basisvektoren? In einem Video sah ich, dass die Basisvektoren wie folgt gewählt wurden $$Kern(A) = Span( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\  0 \\ 0 \end{pmatrix}), \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \\ -1 \end{pmatrix})$$. MIr ist nicht ersichtlich, warum diese so gewählt wurden, daher wollte ich nachfragen, was man bei der Wahl der Basisvektoren beachten muss.

VIelen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Wenn du den Kern einer Matrix suchst, löst du das LGS \(A\cdot x=0\), denn du willst alle Vektoren \(x:=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4\) ermitteln, die auf den Nullvektor \(0\in \mathbb{R}^4\) abgebildet werden. Ob du nun dafür den Gaußalgorithmus nimmst, um auf eine Zeilenstufenform zu kommen, oder es direkt einzusehen, bleibt dir überlassen. Ich wähle mal zweite Methode, da hier sehr viele Nullen in der Matrix stehen:

Dabei schaue ich nur auf die Zeilen, die auch Nichtnulleinträge haben:

1.) \(-a+b+d=0\)

2.) \(4c=0\)

Mit 2.) folgt sofort \(c=0\). Und da Minuszeichen unschön sind, stelle ich mal 1.) nach \(a\) um, also \(a=b+d\). Du hast also zwei freie Variablen \( b,d\in \mathbb{R}\).

Damit hast du also den Lösungsvektor

\(x:=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b+d\\b\\0\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\b\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d\\0\\0\\d\end{pmatrix}=b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+d\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\)

Also hast du Ker\((A)\)=span\(\Bigg (\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \Bigg )\).

Auf den Vektor \(\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}\) kommt man durch \(-\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \)

Comments

Perfekt, danke!