Ableitungen bilden und Definitionsbereich dieser bestimmen: f(x) = 4 √(x) - 12e^x + ln(x) - 22 sin(x)

Question

Hallöchen,

folgende Aufgabenstellung:  Gegeben sind folgende Funktionen. Bilden Sie die Ableitungen und stellen Sie fest wo diese Ableitungen definiert sind. Ich denke, dass ich das Ableiten hinbekommen habe.. Nur wie immer macht mir der Definitionsbereich Probleme... Kann mir dabei bitte jemand helfen?

 

a) f(x) =  4 √(x)     - 12e^x + ln(x) - 22 sin(x)                                         (nur das x steht unter der Wurzel)

    f`(x) = -22cos(x) - 12e^x + 2/√(x)  + 1/x

   D = ?

 

b) g(x) = x⁵e^x

     g´(x) = x⁵e^x + 5x⁴e^x

     D = ?

 

c)  h(x) = √ (ln(e^x+sin(x)cos(x)+2))                                                         (alles steht unter der Wurzel)

     h`(x) = (-(sin(x))² + (cos(x))² + e^x )   /   2(cos(x)sin(x)+e^x+2) √(ln(cos(x)sin(x)+e^x+2))

    D ?

 

d)  j(x) = e^√x

     j`(x) = (e^√x) / ( 2 √x)

      D = ?

 

e)  k(x) = (e^√x ) ²

     k`(x) = ( e^2√x) / √x

     D = ?

 

f)  l(x) = √(x²)

    l`(x) = x / I x I

    D = ?

 

Vielen Dank für Hilfe im Voraus!

Comments

Hilfe?? :-( :-(

Answer 1

a) f(x) =  4 √(x)     - 12e^x + ln(x) - 22 sin(x)                                         (nur das x steht unter der Wurzel)

    f`(x) = -22cos(x) - 12e^x + 2/√(x)  + 1/x

   D = ?

Weil in f(x) der Summand ln(x) vorkommt, ist D = R+ (also ohne die 0) in diesem Bereich ist die Ableitung überall definiert.

 

b) g(x) = x⁵e^x

     g´(x) = x⁵e^x + 5x⁴e^x

     D = ?

D= R. Es gibt keinen Grund D einzuschränken.

 

c)  h(x) = √ (ln(e^x+sin(x)cos(x)+2))                                                         (alles steht unter der Wurzel)

     h`(x) = (-(sin(x))² + (cos(x))² + e^x )   /   2(cos(x)sin(x)+e^x+2) √(ln(cos(x)sin(x)+e^x+2))

    D ?

 (ln(e^x+sin(x)cos(x)+2))       ≥ 0 | damit man die Wurzel ziehen kann

(e^x+sin(x)cos(x)+2) ≥ 1 | damit der ln ≥ 0 ist.

e^x+sin(x)cos(x) ≥-1 Da e^x immer > 0 und sinxcosx = 1/2 sin(2x) ≥ -1/2 nur sehr beschränkt neg., ist das immer ok.

Daher D=R

d)  j(x) = e^√x

     j`(x) = (e^√x) / ( 2 √x)

      D = R^+

Kritisch bei der Diffbarkeit ist  x=0. Daher D = R^+

 

e)  k(x) = (e^√x ) ²

     k`(x) = ( e^2√x) / √x

     D = ?

Hier hast du mind. die Zwischenschritte unterschlagen. √x steht zu hoch im Exponenten. https://www.wolframalpha.com/input/?i=k%28x%29+%3D+%28e%5E%28√x%29+%29+%5E2

f)  l(x) = √(x²)

    l`(x) = x / I x I

    D = R

Kritisch x=0: hier nicht diffbar.