Ableitung von cos(x)^(sin(x^2+1))

Question

Hallo,
Ich bräuchte die Ableitung cos(x)^{sin(x^2 + 1).}

Die Pakete habe ich schon aufgeschrieben und erkannt, dass die Kettenregel als äußerstes Konstrukt anzuwenden ist, nur wie?

u = cos(x)

v = sin(x^2 + 1)

u' = -sin(x)

v' = cos(x^2 + 1) * 2x

Nun komme ich aber nicht weiter, hatte vor mit der Kettenregel den Exponenten nach vorn zu holen, aber was kommt danach? Der Rechenweg würde enorm helfen.

Answer 1

Du meinst

f(x) = COS(SIN(x^2 + 1))

Dann gilt:

f'(x) = -SIN(SIN(x^2 + 1)) · COS(x^2 + 1) · 2·x

f'(x) = - 2·x·COS(x^2 + 1)·SIN(SIN(x^2 + 1))

Comments

Danke für die Antwort. Leider meine ich cos(x) 'hoch' sin(x² + 1) also sinus im Exponenten und cos(x) als Basis.

Answer 2

f(x) = \( e^{sin(x²+1)*ln (cos(x)} \)

f'(x) = \( e^{sin(x²+1)*ln (cos(x)} \) *

( 2x*cos(x²+1)*ln*cos (x) - \( \frac{1}{cos(x)} \)*sin(x) * sin(x²+1))

Wenn ich keinen Fehler gemacht habe.

Comments

Uff ist das ein langer Term. Ich verstehe nicht wie man auf diese Lösung kommt. Von wo kommt die e-Funktion und ln her? Könnte du den ganzen Rechenweg angeben?

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leide funktioniert das nur, wenn

cos (x) ≥0 also -π/2 ≤ x ≤ π/2

Denn ln( z) ist nicht für negative z definiert.

f(x) = cos(x)^sin(x² + 1).

Das Problem ist, dass im Exponenten ein x steht darum bilde ich

\( e^{ln(f(x))} \)  das ist so, als würde ich erst ein Element addieren um es dann wieder zu subtrahieren oder als würde ich es durch eine Zahl dividieren um dann das Produkt mit dieser Zahl zu bilden. Dadurch aber steht aber

sin ( x²+1) nicht mehr im Exponenten.

ln(f(x)) = ln( cos(x)^sin(x² + 1).)

= sin(x² + 1)*ln( cos(x)

Jetzt wieder zurück zu f(x)

f(x) =\( e^{ sin(x²+1)∗ln(cos(x)} \)

Wenn ich diese e-Funktion ableite, bekomme ich erstmal als äußere Ableitung die e-Funktion.

Im Exponenten steht das Produkt aus

g(x) = sin(x²+1)  und h(x)= ln(cos(x))

g'(x) = 2x* cos(x) und

h'(x)= - \( \frac{sin (x)}{cos (x)} \)

Die innere Ableitung ist jetzt also

g'(x) * h(x) + h'( x) * g(x)

Mehr habe ich nicht gemacht, ob das eine oder andere noch umgeformt werden kann, have ich auch nicht geprüft.