Wie leitet man sin(x) ab, wenn x in Gradmaß gegeben ist?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich hatte eine Frage zu den Ableitungsregeln der trig. Funktionen.

Wie leitet man sin(x) ab, wenn x in Gradmaß gegeben ist?

Wenn man z.B die Aufgabe hat:

Leite sin(63⁰) ab!

Problem/Ansatz:

Die Ableitungsregeln funktionieren ja mit dem Bogenmaß bzw radiant. Muss man erst 63⁰ in Radiant umrechnen und dann einfach einsetzen oder wie mache ich das?

Zu den Schreibweisen, ich bin echt verwirrt, da ich mehrere Schreibweisen gesehen habe:

1) sin(63⁰) ' / sin(pi/3) ' = cos(pi/3) / cos(63⁰)

2) sin(63⁰)' → sin(pi/3)' = ( pi/3)*cos(x)

Wenn hier irgendwas falsch ist, was ich geschrieben habe bitte sagt es mir und welche davon ist eigentlich die richtige Schreibweise?

Wäre echt dankbar für ne schnelle antwort, da ich morgen/heute ne Klausur schreibe

Comments

x ist gewöhnlich immer das Bogenmaß. (Konvention)

Im Gradmaß verwendet man kleine griechische Buchstaben.

Man kann leicht umwandeln. Es ist aber nicht notwendig.

Beim Ableiten ändert sich nichts.

Die Ableitung des sin sin bleibt der cos.

(sinα)' wird zu (cosα)'

PS:

63° ist nicht pi/3, 60° wäre pi/3 = 60/180*pi

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Das stimmt nur, wenn man Gradzahl und Bogenmaß identifiziert. Das heißt, wenn eine Einheit in x-Richtung \(\frac 1\pi 180°\) entspricht.

Wenn man aber die x-Achse so skaliert, dass 1°=1 Einheit ist, dann ist die Kurve viel flacher.

Meines Erachtens ist die Aufgabe, so wie sie gegeben ist, nicht sauber gestellt, da das Ergebnis von der Skalierung der x-Achse abhängt.

Und wir wollen ja, dass die Ableitung immer noch den Anstieg der Tangente an den Graphen angibt.

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Man benutze die Umrechnung   α = x·180°/π  und die Kettenregel.

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Meines Erachtens ist die Aufgabe, so wie sie gegeben ist, nicht sauber gestellt,

Vor allem ist es eine komische Aufgabe.

Wer rechnet schon bei Winkelfunktionsgleichungen mit Grad.

Wieder so ein Verwirrspielchen eines Mathe-Exoten, dem langweilig ist ???

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Wer rechnet schon bei Winkelfunktionsgleichungen mit Grad.

Das ist doch höchst üblich, etwa bei Extremwertaufgaben der Art "Bei welchem Öffnungswinkel hat ein Kegel gegebener Seitenlänge maximales Volumen ?" .

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Aber doch nicht bei f(x) = sinx

Das meinte ich, drum sprach ich von Fkt..Gleichungen.

Oder schreiben Sie: f(α) = sin(α) ?

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Ich schreibe (um bei meinem obigen Beispiel zu bleiben)  V(β) = πs^3/3·sin^2(β)·cos(β) , wobei β der halbe Öffnungswinkel α des Kegels ist und wie bei derartigen Aufgabenstellungen üblich im Gradmaß und nicht im Bogenmaß.

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Ich gehe von dem aus, was am meisten in der Schule vorkommt.

Offen gestanden, mir ist das noch nie begegnet, auch in keinem Forum.

Geben mag es viel, vorkommen tut es kaum, wenn man nicht gerade in einer Branche

tätig ist, wo man es sowas braucht. (Produktentwicklung o.ä.)

z.B. in der Verpackungsindustrie um die Kunden zu blenden mit großer Verpackung

und möglichst wenig Inhalt.

Mathe zum Blenden missbraucht.

Vlt. teilt uns der TS den Kontext mit.

Aber Danke für den Hinweis und das Beispiel.

Wieder was dazugelernt, was so schnell nicht wieder vorkommen wird.

Answer 1

Leite sin(63⁰) ab!

Die Ableitung einer Konstanten ist 0.

Besseres Beispiel:

Leite f(x)=sin(63⁰·x) ab!

Antwort: f '(x)=cos(63⁰·x) mit dem Hinweis, dass f '(x) in Längeneinheiten pro ° angegeben ist.

Comments

Antwort: f '(x)=cos(63⁰·x) mit dem Hinweis, dass f '(x) in Längeneinheiten pro ° angegeben ist.

Das ist streng genommen nicht korrekt. \(f'\) wäre hier die Änderung der Funktion \(f\) in Vielfachen von \(63°\). Ich unterstelle, dass \(x \in \mathbb{R}\) ist.

Answer 2

Hallo,

Der Ausdruck \(\sin(63°)\) ist eine Konstante und deren Abeitung ist \(=0\). Du kannst aber eine Funktion \(\sin\!°(\alpha)\) definieren, deren Argument in Grad gegeben ist und diese Funktion z.B. an der Stelle \(\alpha=63°\) ableiten (aber Achtung! siehe Bemerkung weiter unten).

Dazu stellt man einen Faktor \(\pi/180°\) davor und leitet nach der Kettenregel ab. Man definiert \(\sin\!°\) auf der Basis von \(\sin\) $$\sin\!°(\alpha) = \sin\left(\frac{\pi}{180°}\alpha\right)$$und daraus ergibt sich automatisch die Ableitung nach der Kettenregel$$\sin\!°'(\alpha) = \frac{\pi}{180°}\cos\left(\frac{\pi}{180°}\alpha\right) \\ \sin\!°'(63°) =  \frac{\pi}{180°}\cos\left(\frac{\pi}{180°}63°\right) \approx 0,0079\frac{1}{°}$$Die Variable, nach der abgeleitet wird, ist dabei \(\alpha\) (in Grad). Man kann dann auch noch \(1/°\) als Einheit dahinter schreiben, denn dieser Wert gibt die Änderung des Funktionswertes von \(\sin\!°\) bezogen auf ein Grad an. Das ganze als Graph:

achte dabei auf die Skalierung der horizontalen Achse. Sie läuft in einer Periode der Funktion von \(1°\) bis \(360°\) und nicht etwa von \(0\) bei \(2\pi\). Dies führt dann auch zu wesentlich kleineren Werten der Ableitung als bei der ursprünglichen \(\sin\)-Funktion.

Wenn man z.B die Aufgabe hat:
Leite sin(x) bei 63° ab!

Wenn sonst nichts weiter angegeben ist, ist nach der Ableitung von \(\sin(x)\) (nach \(x\)!) gefragt und dann ist das Ergebnis \(\approx 0,454 [1/\operatorname{rad}]\), weil es nicht üblich ist, trigonometrische Funktionen nach Grad abzuleiten. Wenn also nach der Ableitung der \(\sin\)-Funktion an der Stelle \(x=63°\) gefragt ist, dann ist wahrscheinlich die Sinus-Funktion gemeint und nicht die \(\sin\!°\)-Funktion! Hier muss schlicht der Wert \(x=63°\) in \(\operatorname{rad}\) umgerechnet werden und dann die Ableitung an dieser Stelle bestimmt werden.

Praktisch alle Taschenrechner machen das automatisch durch die Einstellung \([\operatorname{deg}]\) (für Grad), \([\operatorname{rad}]\) und \([\operatorname{grad}]\) (für Gon), die meisten Tabellenkalkulationsprogramme und auch die meisten Programmiersprachen tun es nicht!

Comments

Fehler beim Anwenden der Kettenregel könnten sich einschleichen, wenn man die Strich-Schreibweise f' für die Ableitung von f benutzt und mit  α = x·180°/π fälschlicherweise schreibt (sin(α))' = (sin (x·180°/π))' = cos(x·180°/π)·180°/π = cos(α)·180°/π , denn dieser Strich wechselt nach dem ersten Gleichheitszeichen seine Bedeutung (aus d/dα  wurde d/dx).
Richtig wäre d(sin(α))/dα  =  d(sin(α))/dx·dx/dα was sich nach dem oben Ausgeführten und wegen x(α) = α·π/180°  vereinfachen lässt zu
(sin(α))' = d(sin(α))/dα = cos(x·180°/π)·180°/π · π/180°  =  cos(α).

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Genau - deshalb habe ich in meiner Antwort in Prosa dazu geschreiben, dass nach \(\alpha\) (in Grad) abgeleitet wird. Auf die von Dir vorgeschlagene (korrekte!) Schreibweise habe ich bewußt verzichtet.