Bestimme den maximalen Definitionsbereich und das Symmetrieverhalten untersuchen

Question

Ich brauche eure Hilfe bei diesen Aufgaben! Das ist dass neue Thema in der Schule und bin noch nicht so gut darin :). Seid mir also bitte nicht böse, wenn ich öfters Fragen stelle. Ich bedanke mich schon mal im Voraus!

Die Aufgabe:

Bestimmen sie den maximalen Definitionsbereich und untersuche das Symmetrieverhalten:

a) f(x) = x² - 4

b) f(x) = 1/x²

c) f(x) = 2x - 4x - 4

d) f(x) = x³ - 4x/x                Ist alles ein Bruch

e) f(x) = 1/x² - 9                  Ist alles ein Bruch

f) f(x) = x² - 4/x + 2                Ist alles ein Bruch

g) f(x) = 1/2 (x - 2)² + 2x + 3

h) f(t) = at³ - 2a²t / t + 2t² ; a e r \ {0}

Wenn es geht, würde ich es toll finden, wenn es eine kurze und knappe Erklärung oder die Regel, zu der einzelnen Aufgabe gibt, damit ich sie besser verstehe.

Answer 1

Aloha :)

Es gibt in der Mathematik einige verbotene Operationen. Für deine Aufgaben wichtig ist, dass man nicht durch \(0\) dividieren darf bzw. kann:

$$\text{a) }\quad f(x)=x^2-4$$$$\phantom{\text{a) }}\quad \mathbb D=\mathbb R$$$$\phantom{\text{a) }}\quad f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)\quad\Rightarrow\quad\text{achsensymmetrisch}$$

$$\text{b) }\quad f(x)=\frac{1}{x^2}$$$$\phantom{\text{b) }}\quad \mathbb D=\mathbb R^{\ne0}$$$$\phantom{\text{b) }}\quad f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\quad\Rightarrow\quad\text{achsensymmetrisch}$$

$$\text{c) }\quad f(x)=2x^2-4x-4$$$$\phantom{\text{c) }}\quad \mathbb D=\mathbb R$$$$\phantom{\text{c) }}\quad f(-x)=2(-x^2)-4(-x)-4=x^2+4x-4\ne\left\{\begin{array}{r}f(x)\\-f(x)\end{array}\right.\quad\Rightarrow$$$$\phantom{\text{c) }}\quad\text{keine Symmetrie}$$

$$\text{d) }\quad f(x)=\frac{x^2-4x}{x}$$$$\phantom{\text{d) }}\quad \mathbb D=\mathbb R^{\ne0}$$$$\phantom{\text{d) }}\quad \text{Für \(x\in\mathbb D\) können wir den Bruch kürzen: }\quad f(x)=x-4\quad;\quad (x\in\mathbb D)$$$$\phantom{\text{d) }}\quad f(-x)=(-x)-4=-x-4\ne\left\{\begin{array}{r}f(x)\\-f(x)\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\text{keine Symmetrie}$$

$$\text{e) }\quad f(x)=\frac{1}{x^2-9}$$$$\phantom{\text{e) }}\quad \mathbb D=\mathbb R\setminus\{-3;3\}$$$$\phantom{\text{e) }}\quad f(-x)=\frac{1}{(-x)^2-9}=\frac{1}{x^2-9}=f(x)\quad\Rightarrow\quad\text{achsensymmetrisch}$$

$$\text{f) }\quad f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$$$$\phantom{\text{f) }}\quad \mathbb D=\mathbb R\setminus\{-2\}$$$$\phantom{\text{f) }}\quad \text{Für \(x\in\mathbb D\) können wir den Bruch kürzen: }\quad f(x)=x-2\quad;\quad (x\in\mathbb D)$$$$\phantom{\text{f) }}\quad f(-x)=(-x)-2=-x-2\ne\left\{\begin{array}{r}f(x)\\-f(x)\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\text{keine Symmetrie}$$

$$\text{g) }\quad f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2+2x+3$$$$\phantom{\text{g) }}\quad \mathbb D=\mathbb R$$$$\phantom{\text{g) }}\quad f(x)=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)+2x+3=\frac{1}{2}x^2-2x+2+2x+3=\frac{1}{2}x^2+5$$$$\phantom{\text{g) }}\quad f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^2+5=\frac{1}{2}x^2+5=f(x)\quad\Rightarrow\quad\text{achsensymmetrisch}$$

$$\text{h) }\quad f(t)=\frac{at^3-2a^2t}{t+2t^2}=\frac{at^3-2a^2t}{t(1+2t)}\quad;\quad a\in\mathbb R^{\ne0}$$$$\phantom{\text{h) }}\quad \mathbb D=\mathbb R\setminus\left\{-\frac{1}{2};0\right\}$$$$\phantom{\text{h) }}\quad \text{Für \(t\in\mathbb D\) können wir den Bruch kürzen: }\quad f(t)=\frac{at^2-2a^2}{1+2t}\quad;\quad (t\in\mathbb D)$$$$\phantom{\text{h) }}\quad f(-t)=\frac{a(-t)^2-2a^2}{1+2(-t)}=\frac{at^2-2a^2}{1-2t}\ne\left\{\begin{array}{r}f(t)\\-f(t)\end{array}\right.\quad\Rightarrow\quad\text{keine Symmetrie}$$

Answer 2

Der Defiitiosbereich besteht aus allen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners.

Comments

Hab das gerade erst seit paar Tagen, verstehe nicht was du meinst :)

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Weißt du was bei einem Bruch der Zähler und der Nenner ist?

Weißt du was man unter den Nullstellen eines Terms versteht?

Answer 3

a) f(x) = x² - 4

Bei ganzrationalen Funktionen / Polynomfunktionen ist der max. Definitionsbereich immer R.

Man hat eine Achsensysmmetrie zur y-Achse wenn x wie hier nur in geraden Potenzen auftritt.

b) f(x) = 1/x²

Bei gebrochen rationalen Funktionen darf der Nenner nicht 0 werden. Damit müssen die Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich genommen werden. D = R \ {0}

Auch hier gilt wenn x nur in geraden Potenzen auftritt ist die Funktion Achsensymmetrisch.

c) f(x) = 2x - 4x - 4

Prüfe bitte die Funktion

d) f(x) = (x³ - 4x)/x

Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich nehmen. D = R \ {0}

Sowohl Nenner als auch Zählerpolinom enthalten nur x in ungeraden Potenzen. Eine Punktsymmetrie durch eine Punktsymmetrie ergibt eine Achsensymmetrie.

Für x ≠ 0 darf man auch den Bruch durch x kürzen

(x³ - 4x)/x = x² - 4

Auch hier sieht man die Achsensymmetrie.