Hallo,
ich unterstelle zunächst mal, dass \(a,b \, \in \mathbb{N}\). Aus der Forderung, dass \(T(a,b) \in \mathbb{N}\) sein soll, folgt \(a \gt b\). Ich setze daher $$a = b + d, \quad d \in \mathbb{N}$$Einsetzen in \(T(a,b)\) gibt$$T(a,b) = \frac{a+b}{a-b} = \frac{2b + d}{d } \in \mathbb {N}$$Da \( d \nmid b\) sein muss, wegen \(a \perp b\), gilt \(d \mid 2b\) bzw. $$\left. \frac d2 \right| b$$\(d\) ist also eine gerade Zahl. Ich setze $$d = 2k, \quad k \in \mathbb N $$ und aus obigem folgt $$k \mid b $$man kann also schreiben$$b = n \cdot k, \quad n \in \mathbb N\\ a = b +2k = (n+2) k$$und da \(a \perp b\) muss \(k=1\) sein und \(n\) ungerade$$T (a,b) = \frac{a+b}{a-b} = \frac{(n+2) + n}{2} = n+1 \space \in \mathbb N \\ a \cdot b + 1 = n(n+2) + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$$ .... jetzt irritiert mich nur noch der Term \(4ab + 1\). Habe ich was übersehen?
\(4ab + 1\) wäre eine Quadratzahl, wenn \(k = n+1\) ist$$4ab+1 = 4n(n+2)(n+1)^2 + 1 = (2n^2+4n+1)^2$$aber dann ist \(\text{ggt}(a,b) = n+1\) und damit nicht mehr \(a \perp b\)
Gruß Werner
