Zeige, dass T(a,b) eine Quadratzahl ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Term T(a,b)=a-\( \frac{1}{b} \)+b·(b+\( \frac{3}{a} \)).

a,b sind dabei natürliche Zahlen, die so gewählt sind, dass die Zahl T(a,b) ebenfalls ganzzahlig ist. Zeige, dass T(a,b) eine Quadratzahl ist.

Problem/Ansatz:

Wie geht man an dieses Problem heran ? Ich hätte jetzt an die Eigenschaften von Quadratzahlen gedacht, also z.B. das sie eine ungerade Anzahl an echten Teilern haben.

Falls das ein richtiger Anfang ist, wie fährt man fort ?

Und falls das der falsche Ansatz ist, wie könnte man sonst anfangen ?

Ansonsten ist mir nur aufgefallen, dass nach dem Ausklammern ein b² erscheint, dient das vielleicht der Lösung ?

Comments

Hallo

da a und b^2 ganz muss 3b/a-1/b ganz sein also (3b^2-a)/ab=n ganz

dadurch gibt es eine Beziehung zwischen a und b, damit würde ich anfangen, hab aber nicht zu Ende überlegt.

lul

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Ich versuche mal den Ansatz von @lul aufzugreifen. Bei Denkfehlern / einfacherer Lösung bitte korrigieren, bzw. kommentieren.

(Die natürlichen Zahlen werden in diesem Kontext ohne 0 betrachtet.)

$$\text{Für } a=1 \text{ folgt } T(1,b)=1-\frac{1}{b}+b\cdot (b+3) \Rightarrow -\frac{1}{b}\in \mathbb{Z} \Rightarrow b=1$$

In Fallunterscheidung folgt (a>1)

\( 1) \ 3b^2-a=0 \Rightarrow a=3b^2 \text{ (a ist Vielfaches von b) gibt eine Lösung } \forall b\in \mathbb{N}\\ 2) \ 3b^2-a \neq 0 \text{ (a ist kein Vielfaches von b) } \Rightarrow 3b^2-a=k\cdot (a\cdot b), \ k\in \mathbb{Z} \Rightarrow a\cdot (\frac{3b^2}{a}-1)=a\cdot (k\cdot b) \Rightarrow \frac{3b^2}{a}-1=k\cdot b \Rightarrow \frac{3b^2}{a} \text{ ist ganz} \Rightarrow b^2 \text{ ist Vielfaches von } a \text{ oder } a=3\\ (2.1) \ b^2\text{ ist Vielfaches von a} \Rightarrow \exists t\in \mathbb{Z}: \ b^2=t\cdot a \Rightarrow \frac{3b^2}{a}-1 = \frac{3\cdot t\cdot a}{a}-1 = 3\cdot t - 1 = k\cdot \sqrt{t\cdot a} \ \text{ wobei } t\cdot a \text{ Quadratzahl sein muss } \Rightarrow t=1 \text{ und a ist Quadratzahl oder } t=a \Rightarrow a=4 \ \vee \ 3\cdot a - 1 = k\cdot a \\ (2.1.1) \ 3\cdot a - 1 = k\cdot a \Rightarrow 1<a=\frac{1}{3-k}\notin \mathbb{N} \ \forall k \in \mathbb{Z} \\ (2.1.2) \ a=4 \Rightarrow T(4,b)=4+b^2+\frac{-4+3b^2}{4b} \Rightarrow \text{Für } z=4\cdot b \in \mathbb{N} \text{ folgt } -4+3b^2=r\cdot z, \ r\in \mathbb{Z} \Rightarrow b=\frac{z}{4} \Rightarrow -4+\frac{3z^2}{16}=r\cdot z \Rightarrow 3z^2-16rz=z(3z-16r)=64 \Rightarrow z=8 \ \wedge \ r=1 \Rightarrow b=2\\ (2.2) \ a=3 \Rightarrow T(3,b)=3-\frac{1}{b} + b\cdot (b+1) \Rightarrow -\frac{1}{b}\in \mathbb{Z} \Rightarrow b=1 \)

Alle natürlichen a,b, sodass T(a,b) ganzzahlig ist finden sich also für:

$$L(a,b)=\{(1,1),(3,1),(4,2)\}\cup \{(a,b)\in \mathbb{N}^2| \ a=3b^2\}$$

Der entsprechende Beweis, dass es sich bei T(a,b) dann um eine Quadratzahl handelt sollte dann auch nicht mehr schwer sein.

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a=4 ∨ 3⋅a −1= k·a

ich wollte fragen, ob Sie vielleicht diesen Zusammenhang erläutern könnten ? Wie sind Sie auf a=4 gekommen ?

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Aus \(3\cdot t - 1 = k\cdot \sqrt{t\cdot a}\) folgt mit \(t=1\) und a als Quadratzahl nun \(2=k\cdot \sqrt{a} \Rightarrow 4 = k^2\cdot a\). Da nach Voraussetzung \(a>1\) gibt es nun nur die Möglichkeit \(k=1\) und \(a=4\).

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Ich hab die Voraussetzung a>1 völlig vergessen, dankesehr!

Answer 1

$$T(a,b)=a-1/b+b·(b+3/a)$$

Fall 1)

$$a=1; b=1$$$$T(1,1)=$$$$1-1+1·(1+3)=4 =2^2$$

Fall 2)

$$a=3; b=1$$$$T(3,1)=$$$$3-1+1·(1+1)=4 =2^2$$

Fall3 )

$$a=4; b=2$$$$T(4,2)=$$$$4-1/2+2·(2+3/4)=9 =3^2$$

Fall 4)

$$a=3b^{2} $$$$T(a ,b)=$$$$ 3 b^{2} -1/b+b·(b+1/  b^{2} )=(2b)^2$$

Comments

Die Zusammenfassung von Fall 4 kommt gerade richtig xD, dankeschön.

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Bei Fall 4 hätte ich :

3b^2-\( \frac{1}{b} \)+b(b+\( \frac{1}{b^2} \))

= 3b^2-\( \frac{1}{b} \)+b(\( \frac{b^3+1}{b^2} \))

= \( \frac{3b^3-1+b^3+1}{b} \)

= \( \frac{4b^3}{b} \)

= 4b^2

Habe ich mich da verrechnet ?

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$$4=2*2=2^2$$

Alles gut.