Bestimmen Sie die Punkte des Graphen an, deren Tangenten durch den Ursprung verlaufen

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -1/2x² + 2x -2

a) Bestimmen Sie die Punkte des Graphen an, deren Tangenten durch den Ursprung verlaufen

b) Welche Tangenten gehen durch den Punkt A(0/6)? Geben Sie die zugehörigen Berührpunkte des Graphen an

Answer 1

Der Berührpunkt sei (u|v).

Die Steigung an der Stelle u ist -u+2.

Punkt-Steigungs-Form -u+2=v/u

Löse das System

(1) v=0u²/2+2u-2

(2) -u+2=v/u

Dann: Gerade durch die Punkte (0|0) und (u|v).

Answer 2

f(x)= -1/2x² + 2x -2

a) f'(x)=-x+2

Den x-Wert des Berührpunktes nenne ich a.

t(x)=f'(a)*(x-a)+f(a)=(-a+2)*(x-a)-0,5a^2+2a-2

 t(x)=(-a+2)*x+a^2-2a-0,5a^2+2a-2

  t(x)=(-a+2)*x+0,5a^2-2

Damit die Tangenten durch den Ursprung verlaufen, muss 0,5a^2-2=0 gelten.

a=±2

f(2)=-2+4-2=0 → P(2|0)     t(x)=0

f(-2)=-2-4-2=-8 → Q(-2|-8)     t(x)=4x

zu b)

Hier ist der y-Achsenabschnitt 6, also

0,5a^2-2=6

0,5a^2=8

a=±4

usw.

Comments

Guten Tag, ich habe paar Verständnisprobleme: Was passiert bei der Tangentengleichung Nummer 2, von wo kommen x+a^2-2a, könnten sie das detailliert erläutern?

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Hallo,

(-a+2)*(x-a) ...

=(-a+2)*x - (-a+2)*a ...

=(-a+2)*x +a²-2a ...

Answer 3

Hallo,

$$f(x)=-0,5x^2+2x-2\\ f'(x)=-x+2\\$$

f'(x) = m = Steigung

Eine Tangente kann man allgemein in der Form schreiben y = mx + b

b = Schnittpunkt mit der y-Achse, hier null

Also y = mx

m in die Gleichung einsetzen ergibt

y = (-x + 2)·x = -x² + 2x

Gleichsetzen mit f(x) um die Schnittpunkte zu ermitteln:

$$-x^2+2x=-0,5x^2+2x-2$$

nach x auflösen ergibt x₁ = 2 und x₂ = -2

Zur Bestimmung der y-Koordinaten diese Werte in die Funktionsgleichung einsetzen.

Aufgabe b analog.

Gruß, Silvia

Comments

Könnten Sie mir erläutern warum man den Schnittpunkt der Ursprungsfunktion mit der Tangente berechnet, obwohl man nur den Y-Achsenabschnitt braucht? Hört sich wahrscheinlich doof an, aber es wäre hilfreich

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Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei 0, da die Tangenten durch den Usprung verlaufen. Deswegen auch die Geradenform y = mx statt y = mx + b.

Den Schnittpunkt berechne ich, weil ich die Punkte auf der Parabel wissen möchte.

Ist deine Frage damit beantwortet?

Answer 4

Alternativmethode: Berechne die Schnittpunkte einer beliebigen Ursprungsgerade (y=mx) mit dem Funktionsgraphen.

Finde durch Analyse der Diskriminante diejenigen Werte m, für die es nur genau einen Schnittpunkt gibt.

Der mit dem jeweiligen m gefundene Schnittpunkt ist jeweils der gesuchte Punkt.