Geg. sind f(x) und g(x), für welche Punkte verlaufen d. Tangenten d. Graphen v. f senkrecht zum Graphen v. g?

Question

Wie also schon in der Fragestellung beschrieben, sind die Funktionen f(x) und g(x) gegeben.

Sonst keine Punkte, wo die Tangente(n)  durchgehen...

Die Funktionen lauten: f(x)=x³-3x²-x+4 und g(x)=-4x+5

Kann mir vielleicht jemand helfen, die Aufgabe zu lösen?

Mein Ansatz wäre, die Ableitungen zu bilden, damit ich die Steigungen habe. Dann hab ich die x-Werte eingesetzt und hab jetzt die y-Werte rausbekommen. Aber irgendwie haut das nicht hin und ich glaub der Ansatz stimmt nicht so ganz.... Die Formel   m_f=-1/m_g  ist mir übrigens auch bekannt und hab ich benutzt... ich stecke irgendwie trotzdem fest... Kann mir vielleicht irgendjemand helfen?

Answer 1

Hi,

Du hast das wichtigste doch schon erkannt. Du musst Tangenten von f finden, die die Steigung m = 1/4 haben ;).

Bilde also die Ableitung von f(x):

f'(x) = 3x^2-6x-1

Nun setze dies mit m = 1/4 gleich

3x^2-6x-1 = 1/4   |-1/4

3x^2-6x-5/4 = 0   |:3

x^2-2x-5/12 = 0     |pq-Formel

x₁ = -0,19

x₂ = 2,19

Nun nur noch in f(x) selbst einsetzen um den y-Wert zu erhalten ;).

Grüße

Comments

Dankeschön für die schnelle Antwort! :)

Also meiner Meinung ist die Ableitung doch f'(x)=3x²-6x-1 oder?

Genau, und gleichgesetzt hab ich das dann auch :)

Allerdings hab ich da andere Ergebnisse raus, als ich mit der p-q-formel rauskriege... komisch? 

liegt das an der ableitung?

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Hi Unknown,

die Ableitung ist nicht ganz richtig 3x² müsste da stehen.

Gruß

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Setze ich das in die ursprungsfunktion ein oder in die ableitungsfunktion? denn mit der ursprünglichen funktion habe ich die folgenden punkte raus: P1 (2,19/-2,075)  P2 (-0,19/4,075)
mit der ableitung kriege ich diese punkte raus: P1(2,19/0,25)   P2(-0,19/0,25)

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Als Ergebnisse kommen nun
x = -0.19 und
x = 2.19 heraus.

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Ups vertan, danke euch :)

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(* Scherzmodus an *)
Das war doch sicherlich nur ein Test von dir um zu sehen
ob hier jemand mitdenkt.
(* Scherzmodus aus *)

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Hin und wieder tue ich dies! Habs aber mittlerweile aufgegeben, das als Test auszugeben, da mir ja doch keiner glaubt. Tue es aber weiterhin, da es für mich eine Bestätigung ist, dass doch sauber mitgelesen wird.

:D

Answer 2

g ist eine Gerade mit der Steigung \( m_g = g'(x) = -4, \forall x \in \mathbb{R}\).

Für die Steigung einer Tangente \( t \) des Graphen \( f \) am Punkt \(x \), die senkrecht zu \( g \) sein soll muss wie du richtig aufgeschrieben hast gelten \( f'(x) = m_t (x) = -\frac{1}{m_g} = \frac{1}{4}\).

Um zu schauen, für welche x-Werte dies gilt sollst du also die Gleichung

$$ f'(x) = 3x^2 -6x -1 = \frac{1}{4} $$

lösen.

Gruß

Comments

danke! 

ja das habe ich auch gemacht :) im kommentar von dem beitrag über dir habe ich meine lösung mal hingeschrieben.... das dumme ist, wenn ich die punkte (von der ursprünglichen funktion f(x) ) nehme, dann ist meine gerade alles andere als orthogonal... irgendetwas stimmt nicht...

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Wenn du die x-Werte in deine ursprüngliche Funktion f einsetzt, so kriegst du den y-Wert des Punktes an dem die Tangente anliegt, die senkrecht zu g steht.

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ah super! okay... da habe ich gemacht. 

Meine Punkte sind jetzt: P1(2,19/-2,075)  P2(-0,19/4,075)

und als ich das gezeichnet habe, war das überhaupt nicht senkrecht zu f :/

gibt es noch mehr Tangenten oder nur die eine? weil in der Aufgabenstellung TangenteN stand...

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da es 2 verschiedene Punkte an f sind, so sind es ja auch 2 unterschiedliche Tangenten

(du sollst hier keine Gerade durch die beiden Punkte zeichnen)

und diese beiden Tangenten sind senkrecht ZU g und nicht zu f ;)

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hmm also das habe ich jetzt nicht ganz verstanden...

ich habe doch jetzt diese zwei Punkte (stimmen die eigentlich?) und ich dachte, das wären zwei Punkte für meine Tangente um die zu verbinden... wieso ist das jetzt nicht so?

und wie bekomme ich dann die punkte raus, um die tangenten zu zeichnen? muss ich das überhaupt machen? laut Aufgabenstellung ja eigentlich nicht, oder?

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Nee in der Aufgabenstellung steht nichts vom Zeichnen.

Eine Tangente in einem Punkt an einer Funktion ist eine Gerade die diese Funktion an diesem Punkt berührt

zusätzlich zeigt die Steigung einer solchen Tangente die momentane Steigung der Funktion in diesem Punkt.

Du weißt anscheinend nicht wirklich was diese Tangenten sind deswegen schau mal hier zum Beispiel nochmal nach

http://matheguru.com/89-tangente-tangentengleichung-aufstellen.html

Gruß

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Hmm also reichen die beiden Punkte aus?

Naja rein theoretisch weiß ich das schon, nur wenn ich sie zeichnen würde (!) bräuchte ich ja mehr als einen Punkt um das zu tun, richtig? deswegen war ich irritiert.

also bin ich mit meinen beiden Punkten fertig, Aufgabe gelöst?

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achso und danke für den link...

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wenn du eine Gerade zeichnen willst brauchst du nicht unbedingt 2 Punkte. Wenn du die Steigung kennst brauchst du nur einen Punkt.

Die Aufgabe ist soweit fertig

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achja klar, daran hab ich gar nicht gedacht....

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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Kein Thema :)