Analysis Tangente Funktionsterm

Question

Aufgabe:

Hallo, hätte eine Frage zur Analysis. Gegeben ist die Funktion: f(x)= 12x*e^-0,5x. Die Funktion gibt die Wirkungskonzentration eines Medikamentes in mg pro Stunden an. Aufgabenstellung: Der Lineare Abbau nach 5 Stunden wird durch eine Funktion g beschrieben, die durch die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f beschrieben wird. Bestimmen sie den Funktinsterm g.

Bin mir nicht sicher wie ich hier vorgehen soll. Kann mir jemand einen Anhaltspunkt geben?

Answer 1

Bestimme die erste Ableitung der Funktion \( f(x) \) und berechne daraus die Steigung \( m = f'(x_0) \) der Funktion \( f(x) \) in dem zu betrachtenden Punkt \( x_0 \). Die Tangentengleichung lautet dann $$ g(x) = m (x-x_0)+f(x_0) $$

Answer 2

g(x) = m*x+b

m= f '(5)

Zudem gilt:

g(5) = f(5) = 12*5*e^(-0,5*5) = 60*e^(-2,5) = ...

g(5) = m*5 +b

b= ...

Answer 3

f(x) = 12·x·e^(- 0.5·x)

f'(x) = 6·e^(- 0.5·x)·(2 - x)

a = 5

f(a) = 60·e^(- 5/2) = 4.925

f'(a) = - 18·e^(- 5/2)

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a) = - 18·e^(- 5/2)·(x - 5) + 60·e^(- 5/2) = 150·e^(- 5/2) - 18·e^(- 5/2)·x = 12.31 - 1.478·x

Skizze:

~plot~ 12x*e^(-0.5x);12.31-1.478x;{5|4.925};[[0|10|0|10]] ~plot~