Linearkombination erstellen in R^3

Question

Stellen Sie Vektor a (4/2/1) als Linearkombination der Vektoren (1/2/1), (1/1/0), (0/2/3) dar.

Ich habe keine Idee wie ich die drei Zahlen gut übereinander darstelle, deshalb sind sie nebeneinander und mit einen Strich getrennt.

Hat jemand vlt eine Lösung dieser Aufgabe für mich?

MfG Felix

Answer 1

Hallo,

finde \(r,k,t\in \mathbb{R}\), so dass:$$\begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\2\\3 \end{pmatrix}$$ Dies ist ein lineares Gleichungssystem. Du kannst aber auch versuchen, die Lösung zu raten. Auf rechnerischem Wege leitest du daraus zeilenweise die Gleichungen für dein Gleichungssystem ab:$$\begin{cases} 4=r+k \\ 2=2r+k+2t\\ 1=r+3t\end{cases} \implies k=12 \, \land r=-8\, \land t=3$$

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Alles klar, danke!

Answer 2

Ansatz: x*(1/2/1)+y*(1/1/0)+z*(0/2/3)=(4/2/1)

gibt ein Gleichungssystem für x,y,z

x   +    y                    =  4
2x +    y       +2z      =   2
x                    +3z    =    1

Das hat die Lösung (-8 , 12 ,3 ) , also ist deine

Linearkombination

-8*(1/2/1)+12*(1/1/0)+3*(0/2/3)=(4/2/1)

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Dankeschön :D