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Aufgabe:

Ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, die uns unser Mathelehrer gestellt hat.

Wir behandeln gerade Vektoren und sind aktuell bei Geraden bzw. Geradenscharen.

Dabei haben wir die folgende Gerade gegeben:

$$ g_{β}(x)=\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} β\\1+β\\1-β \end{pmatrix} mit\text{ } β \in \mathbb{R}$$

Die Aufgabe ist nun einen Wert für β zu finden, so dass die Gerade g parallel zur x3-Achse ist.


Problem/Ansatz:

Meine Idee war nun, die x3-Achse über eine Gerade darzustellen, also

$$ f(x)=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$

Zwei Geraden sind ja genau dann Parallel zueinander, wenn die Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sind. Deshalb habe ich dann Versucht, das folgende System zu lösen:

$$ r*\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} β\\1+β\\1-β \end{pmatrix} \\ \Longrightarrow \begin{pmatrix} 0  & = & β \\ 0 & = & 1+β \\ r & = & 1-β \end{pmatrix} $$

Nach dem auflösen komme ich darauf, dass es nicht möglich ist, die Gerade parallel zur x3-Achse zu machen. Mein Lehrer meinte jedoch, dass die Lösung β=1 sei. Hat sich mein Lehrer vertan oder habe ich einen Denkfehler?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

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Nach dem auflösen komme ich darauf, dass es nicht möglich ist, die Gerade parallel zur x3-Achse zu machen. Mein Lehrer meinte jedoch, dass die Lösung β=1 sei. Hat sich mein Lehrer vertan oder habe ich einen Denkfehler?

Der Lehrer hat offensichtlich den gleichen Denkfehler gemacht wie Tschakabumba.

für β = 1 ist der Richtungsvektor der Geraden [1, 2, 0]. Dieser Richtungsvektor ist allerdings parallel zur x1-x2-Ebene und nicht parallel zur x3-Achse.

Aber Lehrer sind auch nur Menschen die auch mal Fehler machen.

Avatar von 488 k 🚀
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Aloha :)

Parallel zur \(x_3\)-Achse bedeutet, dass sich die \(x_3\)-Koordinate der Punkte nicht ändern darf. Der Richtungsvektor muss daher bei der dritten Komponente eine \(0\) aufweisen. Das ist für \(\beta=1\) der Fall. Die gesuchte Gerade lautet also:$$g:\,\vec x=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$

Avatar von 152 k 🚀

Ich denke du hast da einen Denkfehler.

Wenn sich die x3 Koordinate nicht ändert ist es parallel zur x1-x2-Ebene.

Oha, stimmt. Da habe ich mich wohl von der angegebenen "Musterlösung" in die Irre führen lassen... Ich lasse die Antwort aber so stehen, damit klar wird, was der Lehrer und ich falsch gemacht haben.

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