Aufgabe:
Ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, die uns unser Mathelehrer gestellt hat.
Wir behandeln gerade Vektoren und sind aktuell bei Geraden bzw. Geradenscharen.
Dabei haben wir die folgende Gerade gegeben:
$$ g_{β}(x)=\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} β\\1+β\\1-β \end{pmatrix} mit\text{ } β \in \mathbb{R}$$
Die Aufgabe ist nun einen Wert für β zu finden, so dass die Gerade g parallel zur x3-Achse ist.
Problem/Ansatz:
Meine Idee war nun, die x3-Achse über eine Gerade darzustellen, also
$$ f(x)=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$
Zwei Geraden sind ja genau dann Parallel zueinander, wenn die Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sind. Deshalb habe ich dann Versucht, das folgende System zu lösen:
$$ r*\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} β\\1+β\\1-β \end{pmatrix} \\ \Longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & = & β \\ 0 & = & 1+β \\ r & = & 1-β \end{pmatrix} $$
Nach dem auflösen komme ich darauf, dass es nicht möglich ist, die Gerade parallel zur x3-Achse zu machen. Mein Lehrer meinte jedoch, dass die Lösung β=1 sei. Hat sich mein Lehrer vertan oder habe ich einen Denkfehler?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.
