Berechnen Sie die Fläche A, die innerhalb der großen Schleife, aber außerhalb der kleinen Schleife der Kurve liegt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

6

Berechnen Sie die Fläche A, die innerhalb der großen Schleife, aber außerhalb der kleinen Schleife der Kurve liegt.

r(φ)=1/2+sin(φ), 0 ≤ φ ≤ 2π

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich bei der Aufgabe am besten vor ?

Würde man erstmal die kleine Fläche berechnen, dann die große und anschließend das voneinander abziehen ?

Ich habe das Problem die Grenzen zu setzten von wo bis wo. Formel wäre ja, \(1/2 \int\limits_{φ1}^{φ2} r^2 *d*φ \)

Answer 1

Hallo,

Würde man erstmal die kleine Fläche berechnen, dann die große und anschließend das voneinander abziehen ?

Klingt schlüssig!

Ich habe das Problem die Grenzen zu setzen von wo bis wo.

Rechne doch ein paar Punkte der Kurve aus. Dann solltest Du auf folgendes kommen: (Link-zu-Desmos)

https://www.desmos.com/calculator/ldztfp7akj

Für \(\varphi=0\) ist \(r=\frac 12\). Dieser Punkt liegt also bei \((\frac 12| 0)\). Der Durchgang der Kurve durch den Ursprung geschieht immer dann, wenn \(\sin \varphi = - \frac 12\) ist, also bei \(\varphi = -\frac \pi 6\) und bei \(\varphi = \frac 76 \pi\). Somit verläuft der rote Teil (siehe Bild oben) des Graphen von \(-\frac \pi 6\) bis \(\frac 76 \pi\) und der blaue Teil, der die kleine Schleife bildet, von \(\frac 76 \pi\) nach \(\frac {11}6 \pi\). Also ist die gesuchte Fläche \(F\) $$\begin{aligned} F &= \frac 12 \int_{-\frac \pi 6}^{\frac 76 \pi} \left( \frac 12 + \sin \varphi \right)^2\, \text d \varphi - \frac 12 \int_{\frac 76 \pi}^{\frac {11}6 \pi} \left( \frac 12 + \sin \varphi \right)^2\, \text d \varphi \\ &= \frac 14 (3 \sqrt 3 + \pi) \end{aligned}$$Tipp: $$\int \left( \frac 12 + \sin \varphi \right)^2\, \text d \varphi = \frac 14 \left( 3\varphi - 4\cos \varphi - \sin(2 \varphi) \right)$$

Comments

Wow, vielen Dank. Super gut erklärt.

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@WS

Du musst den Desmos-Link nicht immer separat in deine Antwort schreiben. Verweise einfach auf den Button unten rechts. Vgl.

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Verweise einfach auf den Button unten rechts.

sehr schön - und wie komme ich zu dem Button?

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Wie meinst du das? Siehst du den nicht?

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Wie meinst du das? Siehst du den nicht?

tatsächlich hatte ich das nicht gesehen. Es ist der Schriftzug 'desmos' unten rechts - den hatte ich nicht als 'Button' identifiziert. Ich dachte im ersten Moment Du meinst das Dreieck mit den abgerundeten Ecken in der Mitte ..

Danke Dir für die Info

Gruß Werner

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.. Ah! - jetzt sehe ich das auch in Deinem Video. Das geht viel zu schnell, wenn man nicht weiß, auf was man achten soll! ;-)

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Achso, super.