Es gelte für eine 2x2 Matrix A die Beziehung |Ax⃗ |=|x⃗ |

Question

Aufgabe:

a) Es gelte für eine 2x2 Matrix A die Beziehung

$$|A\vec{x}| = |\vec{x}| \qquad \vec{x}\in \mathbb{R}^2 $$

Zeigen Sie explizit, dass dann folgt : A ist eine orthogonale Matrix.

b) Sei $$ A\in M_{nn}$$ eine orthogonale Matrix. Weisen Sie nach, dass dann stets folgt

$$|detA| = 1$$

Problem/Ansatz:

Wie ist der Lösungsansatz bei a) ?

Ich muss warscheinlich A⋅A^T = E einsetzen , bin mir aber nicht sicher.

Ich bräuchte einen Ansatz mit dem ich anfangen könnte.

b) würde ich gerne erst danach lösen wollen.

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

zu a)

|Ax|=|x|

<Ax,Ax>=<x,x>

(Ax)^T (Ax) =x^T x

x^T(A^T A) x = x^T E x

----> A^T A = E

A ist eine orthogonale Matrix.

Comments

Ich verstehe die 2.Zeile nicht ganz . Wieso wurde die Determinante weggelassen?

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|•| ist keine Determinante, sondern der Betrag des Vektors!

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Hab ich wohl falsch verstanden. Ich versuch immer noch die 2.Zeile zu verstehen. Was bedeuten die spitzen klammern ? Ist das eine aufzählung?

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Die spitzen Klammern in der zweiten Zeile sind eine Schreibweise für das Skalarprodukt.

<x,y> ist das Skalaprodukt zwischen den beiden Vektoren x und y.

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Vielen Dank.

Wie kann ich mit der aufgabe b) anfangen?

Ich habe folgendes versucht:

|detA|=1

|(det(A)^2| = 1^2

|det(A^T)| * |det(A)| = 1

det(A^T * A) = 1

det(E) = 1

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b)

1=det(E)=det(Q^T*Q)=det(Q^T)*det(Q)=det(Q)^2

=> det(Q)=±1

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ist diese lösung nicht fast die gleiche wie meine nur andersherum?

Vielen Dank

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Jo                                                .