Ist diese Differentialgleichung, nichtlinear und mit getrennten Variablen

Question

Aufgabe:

y'= y/(x-2) +y/(x-3) + x-3 mit y(4)=2

Problem/Ansatz:

Hallo, ich wollte fragen, ob sich das um ein nichtlineare Differentialgleichtung handelt und wie man das berechnet.

Kann mir bitte einer dabei helfen?

Answer 1

Hallo,

Ist diese Differentialgleichung, nichtlinear und mit getrennten Variablen? ->Nein.

Es ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung.

Lösung via mittels Variation der Konstanten:

y'- y/(x-2) -y/(x-3) =x-3

1.) homonene DGL:

y'- y/(x-2) -y/(x-3)  =0 

y' -y(1/(x-2) +1/(x-3)=0

y'- y(1/(x-2) +1/(x-3))=0

y'=y(1/(x-2) +1/(x-3)) ----->Lösung via Trennung der Variablen

dy/dx=y(1/(x-2) +1/(x-3))

dy/y= (1/(x-2) +1/(x-3)) dx

ln|y|= ln|x-2| +ln|x-3|+C

ln|y|= ln(|x-2|*|x-3|)+C | e hoch

yh=C (x-2)(x-3) =C(x^2 -5x+6)

2.)Setze C=C(x)

yp=C(x) (x^2 -5x+6)

yp'= C'(x) (x^2 -5x+6) +C(x) (2x-5)

3.)Setze yp und yp' in die DGL ein und vereinfache:

Merke : Wenn du richtig gerechnet hast , kürzt sich das C(x)

C'(x)((x-2)(x-3)=x-3

C'(x)((x-2)= 1

C'(x)= 1/(x-2)

C(x)=ln|x-2|

4.)yp=C(x) (x^2 -5x+6) = ln|x-2|(x^2 -5x+6)

5.)y=yh+yp

y=C(x^2 -5x+6) +ln|x-2|(x^2 -5x+6)

6.Einsetzen der AWB:

y=C(x^2 -5x+6) +ln|x-2|(x^2 -5x+6)

2=C(16 -20+6) +ln(2) (16 -20+6)

2=2C +2 ln(2) |:2

1=C + ln(2)

C= 1 -ln(2)

------->Endergebnis:

y=C(x^2 -5x+6) +ln|x-2|(x^2 -5x+6)

y=(1 -ln(2) (x^2 -5x+6) +ln|x-2|(x^2 -5x+6)

y=(x^2 -5x+6) (1-ln(2) +ln|x-2|)

hier kann noch der ln vereinfacht werden, ich weis, ist aber nicht nötig.