Differenzialgleichung mit getrennten Variablen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:

y' = \( \frac{y^2 - 3y + 2}{\sqrt{1 - x^2}} \) , y(0) = 1,5

Hinweis: Schränken Sie ggf. die möglichen Werte von y ein, um die resultierende Gleichung nach der Integration nach y auflösen zu können.

Problem/Ansatz:

Ich habe den normalen Ansatz für Differenzialgleichungen mit getrennten Variablen gemacht ( y' = \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)*(y² - 3y + 2).

Durch Integration von \( \frac{y'}{y^2 -3y +2} \) und \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) mit der Substitution s = y(x) und Partialbruchzerlegung zum Lösen des 1. Integrals komme ich schließlich auf das Integral

\( \int\limits_{1,5}^{y(x)} \frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1} ds \)  = \( \int\limits_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt \)

also: ln(|y(x)-2|) - ln(|y(x)-1|) = arcsin(x)

Dann habe ich y(x) auf den Intervall (1,2) eingeschränkt, da 1,5 ja im Wertebereich liegen muss. Dadurch komme ich dann auf

ln(-y(x)+2) - ln(y(x)-1) = arcsin(x)

Und hier komme ich nicht mehr weiter - stimmt das so weit denn überhaupt? und wie kann ich denn nun nach y(x) auflösen?

Liebe Grüße und vielen Dank schonmal!

Answer 1

Hallo,

ich habe erhalten:

ln|y-2| -ln|y-1| = arc sin(x)+C

y(0)=3/2 eingesetzt:

ln| 3/2 -2| -ln| 3/2 -1|= arcsin(0) +C

ln |-1/2| -ln| 1/2| = 0+C

--->C=0

ln|y-2| -ln|y-1| = arc sin(x) 

und das kann man nach y umstellen:

ln|(y-2)/(y-1)|=arc sin(x)  | e hoch

|(y-2)/(y-1)|= e^(arcsin(x))

usw.

Comments

Danke auf jeden Fall schonmal! :)

Gerade beim Umstellen hatte ich aber leider das Problem - bis zu

\( \frac{-y(x)+2}{y(x)-1}=e^{arcsin(x)} \)

bin ich gekommen, aber ich weiß nicht, wie ich so einen Bruch nach y(x) umstellen kann.

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(-y +2) / (y-1)= e^(arcsin(x)) | *(y-1)

-y +2 = e^(arcsin(x)) *(y-1)

-y +2 = y * e^(arcsin(x))  - e^(arcsin(x))  | -y * e^(arcsin(x))

-y -y * e^(arcsin(x)) +2= - e^(arcsin(x)) | -2

-y -y * e^(arcsin(x))  = - e^(arcsin(x))  -2  | *(-1)

y +y * e^(arcsin(x))  =  e^(arcsin(x))  +2

y( 1 + e^(arcsin(x))  =  e^(arcsin(x))  +2

y=  (e^(arcsin(x))  +2)/ ( 1 + e^(arcsin(x))

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Ahh danke, im Nachhinein hätte ich da vielleicht auch selbst drauf kommen können ♂️

Naja manchmal verrennt man sich einfach etwas.

Liebe Grüße! :)