DGL mit getrennten variablen

Question

leute,

ich versuche mich gerade an ein paar DGL-aufgaben, aber bei einer habe ich ein problem und komme nicht weiter, vielleicht wäre ja jemand so nett und hilft mir.

aufgabe:
y´=n*g(x) mit y(a) = b  für n∈ℝ , g besitzt Stammfunktion G und a∈D_y∩D_G

wäre wirklich dankbar.

lG und schönen abend noch
Sarah

Comments

y´=n*g(x)

Kann man nicht einfach beide Seiten integrieren?

y= n*G(x) + c

Mit a∈D_y∩D_G kann ich leider nicht so viel anfangen. Heißt das,dass a in dem Definitionsbereich von y und g liegt?

also haben wir:

b= n*G(a) + c

c= b-(n*G(a))

Ist das die ganze Aufgabe?

Ich kann dir nicht garantieren,dass dies richtig ist.

Answer 1

es ist zunächst:

$$ \frac{dy}{dx}=n \cdot g(x) $$

wir trennen die Variablen:

$$ dy=n \cdot g(x) \quad dx $$

und integrieren:

$$ \int dy=n \int  g(x) \quad dx $$

es wird:

$$ y(x)= n ( G(x) +C) $$

jetzt benutzen wir den Anfangswert y(a) um das C zu bestimmen:

$$ y(a)= n (G(a) +C)=b $$

freistellen nach C liefert:

$$ C = \frac{b}{n}-G(a)$$

Dieses C setzen wir nun in das gefundene y(x) ein und vereinfachen. Es wird:

$$ y(x)= nG(x)-nG(a)+b$$

und die DGL ist soweit gelöst...