Hallo Monika,
Zunächst das Ergebnis im Plotlux-Plotter vorne weg:
~plot~ {0|1.2};{1|4.3};{2|8.7};{3|12.5};{4|14.2};[[-1|6|-2|19]];((-0.283x+1.457)*x+1.955)*x+1.194 ~plot~
Ich habe Dir oben die Punkte und die Regression 3'ten Grades eingezeichnet.
Ich weiß die Funktion für 3. Grades ist
f(x)= ax3 + bx2 + cx + d
Das ist richtig. Da gilt es nun, die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) zu finden, dass ein Polynom entsteht, für das die Differenzen zu den 'Messwerten' möglichst klein sind.
Bei diesem Beispiel kann ich leider nicht herauslesen welcher Wert eig an der „x“ Koordinate liegt & welcher Wert an der „y“ Stelle. Liegen die Wochen auf „x“ oder auf „y“ Stelle?
Die Zeit - und damit die Wochen - sind die X-Werte. Oder in diesem Fall auch Werte für \(t\), aber das ist egal, das ist nur ein Name. Du möchtest ja nicht wissen, wann ein Hamster nach der Geburt genau 8,7g wiegt, sondern es soll ein Modell berechnet werden, aus dem man sehen kann, wieviel ein Hamster im Mittel 2 Wochen nach der Geburt wiegt. Also wenn \(t\) die Zeit in Wochen ist und \(G\) das Gewicht (die Masse) des Hamsters, so suchen wir$$G(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$$ Und diese Gleichung können wir für die 5 bekannten Werte aufstellen:$$\begin{pmatrix}0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 8& 4& 2& 1\\ 27& 9& 3& 1\\ 64& 16& 4& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.2\\ 4.3\\ 8.7\\ 12.5\\ 14.2\end{pmatrix}$$(Bem.: hier verwende ich den '.' als Dezimaltrenner bei Zahlen). Das ist ein überbestimmtes Gleichungssystem, d.h. da sind mehr Informationen als Unbekannte, nämlich 5 zu 4. Und genau wie Dir Tschakabumba das zu Deiner letzten Frage erklärt hat, multiplizieren wir deshalb das System mit der tansponierten Matrix von links. Heißt, aus $$A \cdot \alpha = y$$(\(\alpha\) ist der Vektor mit den Werten von \(a\) bis \(d\)) wird $$A^{T} \cdot A \cdot \alpha = A^T \cdot y $$Das ist die sogenannte Normalengleichung. Das Ergebnis ist:$$\begin{pmatrix}4890& 1300& 354& 100\\ 1300& 354& 100& 30\\ 354& 100& 30& 10\\ 100& 30& 10& 5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1320.2\\ 378.8\\ 116\\ 40.9\end{pmatrix}$$Mit der Lösung$$\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.28333\\ 1.45714\\ 1.95476\\ 1.19429\end{pmatrix}$$Für solche Berechnungen eignet sich übrigens ein Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. Excel) ganz hervorragend.
Wenn Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Und natürlich wird das Gewicht des Hamsters in der Realität nach der 5.Woche nicht so abstürzen (s. Plot oben). Da bräuchte man noch mehr Werte oder ein besseres Modell um den Gewichtsverlauf nach der 5.Woche besser zu modellieren..
