Zeigen der Kommutativität von ganzen Zahlen

Question

Aufgabe:

Zeigen der Kommutativität von ganzen Zahlen, wobei die Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze der natürlichen Zahlen verwendet werden dürfen.

Problem/Ansatz

Also eigentlich ist die Aufgabe ja nicht schwer, aber ich habe zwei verschiedene Ansätze und kann nicht sagen, wie man es denn nun richtig macht.

Definition Addition: [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+c, b+d)]

Def Z: [(a,b)] = (a-b)

Zu zeigen: z1 + z2 = z2 + z1 mit z \in Z

Ansatz 1:

[(a,b)] + [(c,d)]

= [(a+c, b+d)]

= [(c+a, d+b)]

Nach Def der Addition => [(c,d)] + [(a,b)]

Ansatz 2:

[(a,b)] + [(c,d)]

= (a-b) + (c-d)

nach Komm. der natürlichen Zahlen => (c-d) + (a-b) => [(c,d)] + [(a,b)]

Mir kommt der 2. Ansatz besser vor, wobei hier die Definition der Addition nicht wirklich benutzt wurde, aber ich finde es macht trotzdem Sinn. Aber mir fällt es bei Beweisen immer schwer zu sehen, ob es jetzt bewiesen ist und ob ich überhaupt im richtigen "System" bin.

Comments

Ich habe sogar noch einen dritten Ansatz gefunden:

[(a,b)] + [(c,d)]

= [(a+c, b+d)]

= (a+c) - (b+d)

=(c+a) - (d+b)

=[(c+a, d+b)]

= [(c,d)] + [(a,b)]

Der sieht recht ähnlich aus zu Ansatz 1, mit mehr Zwischenschritten.

Ich weiß aber hier auch nicht, ob die notwendig sind.

Oder sind sogar alle 3 Wege machbar?

Answer 1

a+b = b+a

a+0 = 0+a=a

a +(-a)= 0 = (-a)+a

a+b= b+a

a+ b+(-b)= b +a +(-b)

a = b+ a +(-b)

(-b)+a= (-b) +b +a +(-b)= 0 + a +(-b)=a+(-b)

(-a) +( -b)+a = (-a)+a+(-b)=0+(-b)=(-b)

(-a)+(-b) + a+ (-a)=(-b)+(-a)

(-a)+(-b)+0=(-b)+(-a)

(-a)+(-b) = (-b)+(-a)