Ich habe folgende Aufgabe vor mir:
$$p = p(n) \in o(n^{-\frac{3}{2}}) G G_{n.p} \text{ Graph, X Zufallsvariable auf G die die Anzahl an Pfaden der Länge 2 angibt.}\\ (1) \mathbb{E}[X] berechnen \\ \text{(2) Zeigen, dass G asmyptotisch fast sicher keinen Pfad der Länge 2 enthält.}$$
Mein Ansatz war nun folgendes:
$$ S \subseteq V \text{ S enthält Pfad der Länge 2, g.d.w |S| = 3 und es 2 Kanten zwischen den 3 Knoten gibt.} \\ \text{Sei} X_s = 1 \text{ wenn S Pfad der Länge 2 entählt, sonst} X_s = 0.$$
$$\text{(a) Es gilt } \mathbb{E}[X_s] = p^2 \\ X = \sum \limits_{S \subseteq V, |V| = 3} X_s also gilt: \\ \mathbb{E}[X] = p^2 * {n\choose 3} \leq c*p^2*n^3 \text{wobei c>0 geeignete Konstante.}$$
$$\text{w(G) = max}\{k \mid \text{G enthält Pfad d. Länge k} \} \\ P(w(G) \geq 2) \leq P(X \geq 1) \leq \frac{c*p^2*n^3}{1} = c*p^2*n^3 = c$$
Da ich eine Konstante bekomme, muss ich irgendetwas falsch gemacht haben.
