Komplexe zahlen begründen

Question

Hallo, ich hänge schon lange an der aufgabe kann mir jemand da helfen?

Aus z* = z folgt z ist reell. Begründe

Aus z* = -z folgt z ist imaginär. Begründe

Ich verstehe den Inhalt aber wie soll ich das begründen?

Answer 1

z*=z

(x+yi)*=x+yi

x-yi=x+yi   |-x

-yi=yi          |+yi

0=2yi

y = 0

z=x+0i

z=x

--------------

z*=-z

(x+yi)*=-(x+yi)

x-yi=-x-yi

x=-x

2x=0

x = 0

z=0+yi

z=yi

Answer 2

Wähle z = a + bi und stelle dann die Gleichungen auf und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

Answer 3

(1) \(z^{*}=z\Rightarrow z\in \mathbb{R}\)

Setze \(z=a+ib\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\), dann ist \(z^*=a-ib\). Wenn \(z^*=z\), dann ist \(a-ib=a+ib\). Durch Koeffizientenvergleich soll \(a=a\) und \(-ib=ib\) gelten; dies ist nur wahr, wenn \(b=0\). Damit verfällt der Imaginärteil und \(z\) ist reell.

(2) analog.

Comments

Vielen dank. Ich denke jetzt hab ichs verstanden