Komplexe zahlen begründen

Question

Hallo, ich hänge schon lange an der aufgabe kann mir jemand da helfen?

Aus z* = z folgt z ist reell. Begründe

Aus z* = -z folgt z ist imaginär. Begründe

Ich verstehe den Inhalt aber wie soll ich das begründen?

Answer 1

z*=z

(x+yi)*=x+yi

x-yi=x+yi   |-x

-yi=yi          |+yi

0=2yi

y = 0

z=x+0i

z=x

--------------

z*=-z

(x+yi)*=-(x+yi)

x-yi=-x-yi

x=-x

2x=0

x = 0

z=0+yi

z=yi

Answer 2

Wähle z = a + bi und stelle dann die Gleichungen auf und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

Answer 3

(1) $z^{*}=z\Rightarrow z\in \mathbb{R}$

Setze $z=a+ib$ mit $a,b\in \mathbb{R}$, dann ist $z^*=a-ib$. Wenn $z^*=z$, dann ist $a-ib=a+ib$. Durch Koeffizientenvergleich soll $a=a$ und $-ib=ib$ gelten; dies ist nur wahr, wenn $b=0$. Damit verfällt der Imaginärteil und $z$ ist reell.

(2) analog.

Comments

Vielen dank. Ich denke jetzt hab ichs verstanden