Berechnen Sie Real-, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl z:=\frac{e^{\frac{\pi}{2} i}}{3-i}

Question

Aufgabe:

(a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=\frac{n}{3 n+1} $$
(b) Berechnen Sie Real-, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl \( z:=\frac{e^{\frac{\pi}{2} i}}{3-i} \)

Answer 1

Hallo,

zu b)

\( e^{π i/2} \) =cos(\( \frac{π}{2}) \) +i sin (\( \frac{π}{2} \)) =0+i *1= i

----->

z=i/(3-i) =i/(3-i) * (3+i)/(3+i)

z=(3i -1)/(9+1) = (3i -1)/10

z=(3i)/10 - 1/10

-->

Re(z)= -1/10

Im(z)= 3/10

|z|=√(1/100+9/100)=1/√10