Differenzialgleichung: y‘‘(x) + py‘(x) + qy(x) = 0 -> p und q berechnen

Question

Aufgabe:

Differenzialgleichung: y‘‘(x) + py‘(x) + qy(x) = 0 -> gesucht sind die reellen Koeffizienten p und q. Allgemeine Lösung: y_h(x) = c₁e^4x + c₂e^3x

Problem/Ansatz:

Wie kann ich aus diesen Informationen p und q berechnen?

Als Lösung ist angegeben p = -7 und q = 12.

Comments

(x-3)(x-4) = x^2-7x+12

Answer 1

Berechne erstmal die erste und zweite Ableitung:

$$ y(x)=c_1\cdot e^{4x}+c_2\cdot e^{3x}\\y'(x)=4\cdot c_1\cdot e^{4x}+3\cdot c_2\cdot e^{3x}\\y''(x)=16\cdot c_1\cdot e^{4x}+9\cdot c_2\cdot e^{3x} $$

In die gegebene DGL einsetzen:

$$ 0=y''(x)+p\cdot y'(x)+q\cdot y(x)\\=16\cdot c_1\cdot e^{4x}+9\cdot c_2\cdot e^{3x}\\+p\cdot (4\cdot c_1\cdot e^{4x}+3\cdot c_2\cdot e^{3x})\\+q\cdot (c_1\cdot e^{4x}+c_2\cdot e^{3x})\\=c_1\cdot (16+4\cdot p+q)\cdot e^{4x}+c_2\cdot (9+3\cdot p+q)\cdot e^{3x} $$

Die Funktionen \(e^{3x},e^{4x}:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) sind linear unabhängig. Also reicht es nur das LGS zu betrachten:

$$ 16+4\cdot p+q=0, \quad 9+3\cdot p+q=0, $$was zu lösen ist.

Answer 2

Hallo,

die charakt. Gleichung lautet:

k^2 +kp +q=0

k_1/2= -k/2 ±√((k^2/4) -q)

----->

y(x) = C₁ e^(-1/2 x (√(p^2 - 4 q) + p)) + C₂ e^(1/2 x (√(p^2 - 4 q) - p))

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1)C₁ e^(-1/2 x (√(p2 - 4 q) + p)) =C₁ e^(4x)

2)C₂ e^(1/2 x (√(p^2 - 4 q) - p)) = C₂ e^(3x)

-->Koeffizientenvergleich:

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1) (-1/2 x (√(p2 - 4 q) + p)) = 4x

2) (1/2 x (√(p^2 - 4 q) - p)) = 3x

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1) (-1/2  (√(p2 - 4 q) + p)) = 4

2) (1/2  (√(p^2 - 4 q) - p)) = 3

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1) √(p^2 - 4 q) + p = -8

2) √(p^2 - 4 q) - p = 6

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1-2) : 2p =  -14 ->p= -7

------->q=12