Ist das richtig, und wenn ja wie kann man das begründen?

Question

Aufgabe:

Eine Nullstelle ist dann eine doppelte Nullstelle, wenn sie gleichzeitig eine Extremstelle ist. Ist das richtig, und wenn ja wie kann man das begründen?

Comments

y=x^4 liefert ja wohl ein Gegenbeispiel.

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Die Aussage ist falsch. Betrachte z.B. ƒ(x) = |x|.

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f(x)=x^4 ist kein Gegenbeispiel, den es wurde ja nicht gesagt genau dann, es gibt also Funktionen, deren doppelten Nullstellen keine Extremwerte sind. Was aber mit diesen ist, spielt keine Rolle. Wichtig ist, dass eine Funktion bei der der Extrempunkt eine Nullstelle ist, dort auch eine doppelte Nullstelle hat.

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Wichtig ist, dass eine Funktion bei der der Extrempunkt eine Nullstelle ist, dort auch eine doppelte Nullstelle hat.

Und wo hat bes. Fkt. eine doppelte NS?

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Ja, ich habe mich geirrt, natürlich hat deine Funktion ein Minimum bei x=0 und sie hat dort eine vierfache Nullstelle. Die Frage ist also nur, ob eine k>2 fache Nullstelle auch eine doppelte Nullstelle sein kann. Denn sie hat ja mindestens zwei Nullstellen bei x=0

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Dann wäre dort auch eine einfache Nullstelle, denn sie hat ja mindestens eine Nullstelle.

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Richtig, jede doppelte Nullstelle ist auch eine einfache Nullstelle, wenn es so ist. Wobei ich nicht überblicke, welche Auswirkungen das hat, bei welchen Sätzen das eine Rolle spielt.

Es kann so sein und es kann sein, dass es tatsächlich ein Gegenbeweis ist.

4≠2

Vielleicht reicht es auch den Satz umzuformulieren, so dass es mindestens eine doppelte Nullstelle gibt, wenn diese Stelle ein Extrempunkt ist.

Answer 1

Offenbar geht es ja um ganzrationale Funktionen.

Wenn eine Nullstelle a gleichzeitig eine Extremstelle ist, dann ist die erste

Ableitung an dieser Stelle a auch gleich 0. Beide enthalten also den

Linearfaktor (x-a)

Die erste Ableitung ist also von der Form f ' (x) = (x-a)*g(x)

und f (x) auch also f(x) = (x-a)*h(x)   #

Mit der Produktregel folgt aus #

f ' (x) = (x-a) * h ' (x) + h(x) und das ist also gleich (x-a) * g(x)

==>   (x-a) * h ' (x) + h(x) = (x-a) * g(x)

==> h(x) =  (x-a) * g(x)  - (x-a) * h ' (x)

==> h(x) =  (x-a) * (g(x)  - h ' (x) )

==>  h(x) enthält auch den Linearfaktor (x-a) und wegen #

enthält f(x) ihn also (mindestens) zweimal, also doppelte Nullstelle.

Comments

Dass es um ganzrationale Funktionen geht, offenbart sich mir nicht.

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Ja sorry, dass es um ganzrationale Funktionen geht hätte ich dazu schreiben sollen.

Answer 2

Was ist mit f(x)=cos(x) -1,

bei x= 0 ist ein Extrempunkt und eine Nullstelle, ist es auch eine doppelte Nullstelle?

Gilt diese Aussage vielleicht nur bei ganzrationalen Funktionen?