Ist die folgende Aussage richtig, wenn ja warum?

Question

Aufgabe:

Ist die folgende Aussage richtig, wenn ja warum?

Die Menge aller Verschiebungen und aller Drehungen mit gemeinsamen Zentren bildet eine abelsche Gruppe.

Answer 1

vgl.

https://www.biancahoegel.de/mathe/gruppe/abelsche_gruppe.html

Comments

okay danke, also ist die Aussage richtig, so wie ich es verstanden habe, oder?

Answer 2

Meiner Meinung nach ist die Aussage nicht richtig.

Nimm als Drehzenztrum den Ursprung und als Drehung \(d\)

eine Drehung um \(45°\). Als Verschiebung nimm

\(v: (x,y)\mapsto (x+1,y+1)\).

Dann gilt \(d\circ v\neq v\circ d\).

Comments

Ich habe es leider noch nicht ganz verstanden, könnten Sie mir das bitte anders erklären?

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So wie es dasteht ist die Verkettung ja nicht einmal abgeschlossen.
Vielleicht sollte die Aufgabe lauten   "Sowohl die Menge aller Verschiebungen als auch die Mengen aller Drehungen mit gemeinsamen Zentren bilden jeweils eine abelsche Gruppe."

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Schau dir zum Beispiel an, was mit \((0,0)\) passiert:

\((v\circ d)(0,0)=v(d((0,0))=v(0,0)=(1,1)\), aber

\((d\circ v)(0,0)=d(v(0,0))=d((1,1))=(0,\sqrt{2})\),

also nicht dasselbe.

Mach dir doch eine Skizze !

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@Gast hj2166:

Ja, da hast du Recht. Ich bin "wohlwollend" von der Untergruppe
der Bewegungen ausgegangen,
die von den Drehungen und Verschiebungen
erzeugt wird.

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Okay also gehe ich davon aus, dass die Aussage jetzt falsch ist.