Schnittpunkte bei Exponential- und Logarithmusfunktionen berechnen

Question

Folgende Aufgabe muss ich lösen:

Die Funktion f hat mit ihrer Umkehrfunktion zwei Punkte gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

f = y = 2^x - 2

Problem/Ansatz:

Die Umkehrfunktion konnte ich ermitteln:
y = 2^x - 2
y + 2 = 2^x
log₂ (y + 2) = x

x und y austauschen
=> y = log₂ (x + 2) = f^-1

Desweiteren muss man die Funktionen gleichstellen f = f^-1, um die Gleichung dann nach x aufzulösen, hier liegt jedoch mein Problem - wie löse ich eine Gleichung mit Logarithmus?
log₂ (x + 2) = 2^x - 2

Answer 1

Die Umkehrfunktion ist die an der Winkelhalbierenden gespiegelte Ausgangsfunktion.

https://www.desmos.com/calculator/rtcxq508a3

Setze also \(f(x)=x\). Dies ist leichter. Nichtsdestotrotz musst du numerisch vorgehen.

Answer 2

Hallo

die Lösung x=2 sieht man sofort, da f und f-1 ja an y=x gespiegelt sind muss für den Schnittpunkt auch gelten y=x, der zweite Schnittpunkt muss deshalb x negativ sein , ich sehe nicht wie man das ohne Näherungsverfahren findet . also weder x=ln(x+2) noch x=2^x-2 kann man analytisch lösen

Gruß lula