Aufgabe:
Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind (ohne Begründung):
(i) Sei \( A \subset \Omega . \) Die Indikatorfunktion \( \mathbb{1}_{A} \) ist \( \mathcal{A}-\mathcal{B} \) -messbar.
(ii) Für die Borelsche \( \sigma \) -Algebra \( \mathcal{B} \) über \( \mathbb{R} \) gilt \( 2^{\mathrm{R}} \subsetneq \mathcal{B} \)
(iii) Es existieren stetige reellwertige Zufallsvariablen mit \( \mathbb{P}(X=\mu)=0.2, \) wobei \( \mu=\mathbb{E}(X) \)
(iv) Für zwei beliebige Ereignisse positiver Wahrscheinlichkeit \( A, B \in \mathcal{A} \) mit \( A \subseteq B \) gilt \( \mathbb{P}(A \mid B) \geq \mathbb{P}(B \mid A) \)
(v) Stochastisch abhängige Zufallsvariablen sind korreliert.
Kann jemand mir hilfen?
Meine Lösungen sind:
i) Richtig. Denn (Ω, A, ℙ) ein messbarer Raum. Die Indikatorfunktion 1A ist genau dann messbar, wenn A ∈ A
ii) Falsch. Ich bin nicht sicher, denn 2ℝ ⊂ B aber nicht gleich B ist.
iii) Falsch. Stetige Zufallsvariablen ⇒ P(X=μ) = 0
iv) Richtig. Ich habe ein Beispiel gemacht und P(A|B) ≥ P(B|A), ich bin aber auch nicht sicher...
v) Richtig.
