e-Funktionen allg. Beweis

Question

Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe allgemein und ohne ein Fallbeispiel nachweisen kann. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. LG

Aufgabe: Der Luftdruck wird in Abhängigkeit von der Höhe über dem Meeresspiegel modellhaft mithilfe der Funktion p(x) = 1000*e^(-x/8) und x € R0+ beschrieben. dabei ist X die Höhe über dem Meeresspiegel und P (X) der Luftdruck in Hektopascal.

zeigen Sie, dass eine Verringerung des Luftdrucks um die Hälfte auf eine Höhenänderung zurückzuführen ist, die unabhängig von der Ausgangshöhe ist. Geben Sie diese Höhenänderung an.

Answer 1

$$\text{Sei } x_0 \text{ die Ausgangshöhe mit Ausgangsdruck } P(x_0)=1000\cdot e^{-\frac{1}{8}x_0} \text{. Sei zusätzlich nun } P(x) \text{ der Druck zu einer Höhe } x \text{.} \\ \text{Nun soll eine Verringerung des Drucks um die Hälfte erfolgen, d.h. } \Delta P = P(x)-P(x_0)=\frac{1}{2} P(x_0) \Rightarrow P(x) = \frac{3}{2} P(x_0) \text{.} \\ \text{Dann gilt } 1000e^{-\frac{1}{8}x} = \frac{3}{2} \cdot 1000 \cdot e^{-\frac{1}{8} x_0} \Rightarrow 2e^{-\frac{1}{8}x} = 3 e^{-\frac{1}{8} x_0} \Rightarrow \ln 2 -\frac{1}{8} x = \ln 3 - \frac{1}{8} x_0 \Rightarrow \Delta x = x-x_0=-8\cdot (\ln 3 - \ln 2)\text{.} \\ \text{Nach Vereinfachung folgt eine Höhenänderung (ich nehme mal an in km) unabhängig von } x_0 \text{ mit } \Delta x = 8\ln \left(\frac{2}{3}\right) \text{.}$$

Korrektur nach Revision:

$$\text{Bei der oberen Betrachtung wurde fälschlicherweise die Erhöhung des Drucks begutachtet. Bei einer Verringerung wird mit } \Delta P = P(x)-P(x_0)=-\frac{1}{2} P(x_0) \Rightarrow P(x)=\frac{1}{2} P(x_0) \text{ argumentiert. Dann folgt } 1000e^{-\frac{1}{8}x} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot e^{-\frac{1}{8}x_0} \Rightarrow \Delta x=x-x_0 = 8\ln 2 \text{ als Höhenänderung (diese ist insbesondere positiv).}$$

Comments

Ich verstehe nicht warum

aus

()−(0)=1/2(0)

P(x)= 3/2 Px0

folgt

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Addition von P (x₀) auf beiden Seiten der Gleichung.

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Davon unabhängig habe ich eine Korrektur meiner Antwort angefügt.

Bitte die Anmerkungen dazu beachten.