Umformung (Y=k)=...? Rechenweg?

Question

Lsung zu Aufgabe 44 Wir definieren \( \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right):=0, \) falls \( k>n, \) so dass wir die Fallunterscheidung weglassen können. Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt
$$ P[(Y=k) \mid(X=n)]=\frac{P[(Y=k) \cap(X=n)]}{P(X=n)} $$
außerdem gilt
$$ (Y=k)=\bigcup_{n=0}^{\infty}[(Y=k) \cap(X=n)]=\sum \limits_{n=0}^{\infty}[(Y=k) \cap(X=n)] $$ ????

Umformung (Y=k)=...? Wie kommt man auf die zweite Umformung? Gesucht ist die Zufallsvariable (Y=k),

(X=n) ist Poissonverteilt

Comments

Was bedeutet das Summenzeichen in \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}[(Y=k) \cap(X=n)]\)?

Answer 1

Jemand würfelt, aber man weiß nicht, wie oft.

In welchen Fällen würfelt er genau viermal eine 6?

- Die Wurfanzahl ist n=4, und die Trefferanzahl ist k=4.

- Die Wurfanzahl ist n=5, und die Trefferanzahl ist k=4.

- Die Wurfanzahl ist n=6, und die Trefferanzahl ist k=4.

- Die Wurfanzahl ist n=7, und die Trefferanzahl ist k=4

usw.

Das Ereignis "k=4 Treffer" ist also die Vereinigung von unendlich vielen Varianten (mit allen möglichen Anzahlen n).