Umformung nicht verstanden, Integral

Question

Lösung zu Aufgabe 70 Die Variablensubstitutionen \( y=x-\beta \) und \( s=y / \alpha \) ergeben
$$ \begin{aligned} \int f(x) d x &=\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{c}{\alpha^{2}+y^{2}} d y=\frac{c}{\alpha} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\frac{c}{\alpha}(\arctan (\infty)-\arctan (-\infty))=\frac{c}{\alpha} \pi \end{aligned} $$
und damit \( c=\frac{\alpha}{\pi} \)

Answer 1

Leider hast du nicht genau gesagt wo das Problem liegt

∫ (-∞ bis ∞) c/(α^2 + (x - β)^2) dx

Subst. y = x - β und 1 dy = 1 dx

= ∫ (-∞ bis ∞) c/(α^2 + y^2) dy

= c/α^2·∫ (-∞ bis ∞) 1/(1 + y^2/α^2) dy

= c/α^2·∫ (-∞ bis ∞) 1/(1 + (y/α)^2) dy

Subst. t = y/α und 1 dt = 1/α dy

= c/α·∫ (-∞ bis ∞) 1/(1 + t^2) dt

= c/α·∫ (-∞ bis ∞) 1/(1 + t^2) dt

= c/α·[arctan(t)](-∞ bis ∞)

= c/α·(arctan(∞) - arctan(-∞))

= c/α·pi

Answer 2

Aloha :)

Im ersten Schritt wird der Integrand nur umgeformt:$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{c}{\alpha^2+y^2}dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{c}{\alpha^2\left(1+\frac{y^2}{\alpha^2}\right)}dy=\frac{c}{\alpha^2}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+\left(\frac{y}{\alpha}\right)^2}dy$$Jetzt fürhst du folgende Substitution durch:$$t:=\frac{y}{a}\quad\Rightarrow\quad\frac{dt}{dy}=\frac{1}{\alpha}\;\text{ bzw. }\;dy=\alpha\,dt\quad;\quad t(\infty)=\infty\quad;\quad t(-\infty)=-\infty$$Damit wird das Integral einfacher:$$I=\frac{c}{\alpha^2}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+t^2}\,\alpha\,dt=\frac{c}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+t^2}\,dt$$Der neue Integrand \(\frac{1}{1+t^2}\) ist die Ableitung von \(\arctan(t)\), ein Standardintegral, das man am besten auswendig lernt.