Lineare Abbildung Vektoren

Question

Hi,

könnte mir jemand bitte die Vorgehensweise bei dieser Aufgabe erklären?

Gibt es eine lineare Abbildung ϕ :R3→R4, die die folgenden Vektoren aufeinander abbildet.

(1,0,2)→(1,1,1,2),(1,1,1)→(−1,1,1,1),(1,2,2)→(0,2,2,3)

Vielen Dank für jede Hilfe !:-)

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Abbildungsmatrix einfach ausrechnen und schauen, ob das klappt:$$\mathbf M=\left(\begin{array}{r}1 & -1 & 0\\1 & 1 & 2\\1 & 1 & 2\\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2\\2 & 1 & 2\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{r}1 & -1 & 0\\1 & 1 & 2\\1 & 1 & 2\\2 & 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\2 & 0 & -1\\-1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$$$$\phantom{\mathbf M}=\left(\begin{array}{r}-2 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\\0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\-1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2}\end{array}\right)$$Da die inverse Matrix exisitert, also die 3 Ausgangsvektoren linear unabhängig sind, existiert auch die gesuchte Abbuldungsmatrix \(\mathbf M\).

Comments

Vielen Dank ! eine frage hätte ich noch, und zwar wie genau hast du die Matrix

$$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right) $$

ausgerechnet? Hast du da den Gauss Algorithmus angewendet?

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Ok, habs jetzt verstanden, du hast die Inverse ausgerechnet :)

Answer 2

Ja, solche Abbildungen muss es geben. Die drei Vektoren, deren Bildvektoren vorgegeben sind, sind in R^3  linear unabhängig. Deshalb können deren Bildvektoren im Prinzip beliebig vorgegeben werden. Es ist aber anzunehmen, dass es (unendlich) viele Lösungsmöglichkeiten geben wird.

Dass die vorgegebenen Bildvektoren untereinander linear abhängig sind (der dritte ist die Summe der ersten beiden) ändert an diesen Überlegungen nichts.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Mir ist die Vorgehensweise jedoch immer noch nicht ganz klar.

Könntest du sie mir bitte anhand eines Beispiels verdeutlichen? Also muss ich zeigen dass die Vektoren linear unabhängig sind oder wie?

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Um zu zeigen, dass die 3 Ausgangsvektoren unabhängig sind, habe ich die Determinante der aus ihnen gebildeten Matrix berechnet. Da kam ein Wert ungleich 0 raus, was die Unabhängigkeit belegt.

Inzwischen hat ja auch Tschakabumba seine Überlegungen mitgeteilt.