Lineare Abbildung mit Vektoren

Question

Aufgabe:

$$a=\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}, \ b=\begin{pmatrix} 2\\9\\0 \end{pmatrix},\ c=\begin{pmatrix} 3\\3\\4 \end{pmatrix} und \ x=\begin{pmatrix} 3\\-2\\6 \end{pmatrix}\\Sei \ f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\text{ eine lineare Abbildung mit}\\f(a)=\begin{pmatrix} 1\\0\ \end{pmatrix}, \ f(b)=\begin{pmatrix} -1\\1\\ \end{pmatrix},\ f(c)= \begin{pmatrix} 0\\1\\ \end{pmatrix}\\\text{Berechne mit diesen Informationen} \ f(x)$$

Problem/Ansatz:

Wie muss ich vorgehen um diese Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Man braucht hier keine Inverse (unnötig aufwendig).

Finde \(x_1,x_2,x_3\) so, dass \(x_1\cdot a+x_2\cdot b+x_3\cdot c =x\) (dazu ist ein LGS zu lösen, schaffst Du bestimmt).

Dann ist \(f(x)=f(x_1\cdot a+x_2\cdot b+x_3\cdot c)=x_1\cdot f(a)+x_2\cdot f(b)+x_3\cdot f(c)\). Ausrechnen mit den Angaben aus der Aufgabenstellung, fertig.

Comments

Danke. Kannst du mir denn sagen, wie es mit der inversen funktionieren würde. ich würde gerne beide Wege kennen

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Du kannst jedes LGS auch mit der Inversen lösen (macht keiner, weil 3mal so aufwendig und damit rechenfehleranfällig). Kannst Du ja einmal machen, damit Du das selbst erlebst, dann vergiss es wieder.

Die Inverse spielt in der Praxis kaum eine Rolle.

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Ich habe noch ein Verständnisproblem. Ich habe das LGS gelöst und komme auch auf den Vektor x. die inverse habe ich auch bestimmt wie oben erwähnt und auch die Matrix erhalten die Wächter als Kontrolle geschrieben hat, nur was sagt mir jetzt die obige Matrix über die Aufgabe aus, wofür verwende ich die?

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Wenn Du das A von wächter mit \(x\) multiplizierst, erhältst Du das in der Aufgabe gesuchte \(f(x)=\binom30\).

Hintergrund: Sei \(C= \left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&9&3\\1&0&4\\\end{array}\right)\) und \( B= \left(\begin{array}{rrr}1&-1&0\\0&1&1\\\end{array}\right)\).

Dann ist der von mir vorgeschlagene Weg: Löse \(C\,xi =x\) und berechne

\(f(x)=B\,xi\).

wächters Weg: Berechne \(A=B\cdot C^{-1}\) und dann \(f(x)=A\,x\).

Da \(xi=C^{-1}x\), gibt das dasselbe Ergebnis.

Halt einmal mit Inverser gerechnet, einmal ohne.

Answer 2

Man könnte das mal aufschreiben

\(f: A \; \left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\2&9&3\\1&0&4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&-1&0\\0&1&1\\\end{array}\right)\)

die Inverse berechnen und damit A erhalten...

Comments

Wie kann ich dann überprüfen ob A die richtige Matrix ist?

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Naja, A muss die Bilder der Vektoren a,b,c berechnen...

Kontrollergebnis

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-41&9&24\\14&-3&-8\\\end{array}\right)\)