Berechnen sie die Höhe und das Volumen der Pyramide.

Question

Aufgabe:

Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche ABC mit A (13/-1/5), B (9/3/5) und C (13/3/10) und die Spitze (3/-3/15). Berechnen sie die Höhe und das Volumen der Pyramide.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht was die Formel für das Volumen ist, im Internet steht überall was anderes.

Answer 1

Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche ABC mit A (13/-1/5), B (9/3/5) und C (13/3/10) und die Spitze (3/-3/15). Berechnen sie die Höhe und das Volumen der Pyramide.

A = [13, -1, 5]
B = [9, 3, 5]
C = [13, 3, 10]
S = [3, -3, 15]

AB = B - A = [-4, 4, 0]
AC = C - A = [0, 4, 5]
AS = S - A = [-10, -2, 10]

G = 1/2·|[-4, 4, 0] ⨯ [0, 4, 5]| = 1/2·|[20, 20, -16]| = 2·√66 = 16.25 FE

V = 1/6·|[20, 20, -16]·[-10, -2, 10]| = 200/3 = 66.67 VE

V = 1/3·G·h → h = 3·V/G = 3·(200/3)/(2·√66) = 50/33·√66 = 12.31 LE

Comments

! Was sind denn die exakten Formeln für die Grundfläche und Volumen (ohne einzusetzen)?

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! Was sind denn die exakten Formeln für die Grundfläche und Volumen (ohne einzusetzen)?

G = 1/2·|AB ⨯ AC|

V = 1/6·|[(AB ⨯ AC)·AS|

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Warum nimmt man für die Grundfläche das Kreuzprodukt und beim Volumen wieso das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt?

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Warum nimmt man für die Grundfläche das Kreuzprodukt und beim Volumen wieso das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt?

Und von wo kommt die 1/6 beim Volumen? G ist ja klar G = 1/2*a*b Wird die 1/2 da sofort zusammengefasst?

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Der Betrag vom Kreuzprodukt entspricht der Fläche des Parallelograms welches von den Vektoren aufgespannt wird.

Der Betrag vom Spatprodukt (Kreuzprodukt und Skalarprodukt) entspricht dem Volumen des Spats welcher von den Vektoren aufgespannt wird.

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Und von wo kommt die 1/6 beim Volumen? G ist ja klar G = 1/2*a*b Wird die 1/2 da sofort zusammengefasst?

Richtig!

Das Volumen einer Pyramide ist ja 1/3 * G * h. Da kommt dann noch der Faktor 1/3 her.

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Ich verstehe das mit dem Parallelogram nicht, könnten Sie mir das graphisch erläutern?

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Schau mal unter

https://youtu.be/3IiWCeRucFc

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Ist die Grundfläche nicht dreiseitig?

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Ja. Das haben Dreiecke so an sich.

Schau das Video an. Dann wird es klarer.

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Ist die Grundfläche nicht dreiseitig?

Ich habe mir das Video jetzt angeschaut, das Parallelogramm wird halbiert, soweit ich verstehe.

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Genau. Schneidet man ein Parallelogramm entlang einer Diagonalen in zwei Stücke erhält man zwei kongruente Dreiecke.