Integral von (1+x)/(1-x)

Question

Substitution mit u=x-1 aber ich komm einfach nicht klar...

Answer 1

f(x) = (1 + x)/(1 - x)

Weil im Zähler die Potenz von x nicht kleiner ist als im Nenner, kann man zunächst eine Polynomdivision machen

f(x) = (1 + x)/(1 - x) = - 2/(x - 1) - 1

Jetzt kann die Summenregel benutzt werden um die Stammfunktion zu finden

F(x) = - 2·LN(x - 1) - x + C

Answer 2

hallo

(1+x)/(1-x) = 1/(1-x) + x/(1-x)

nebenrechnung

x/(1-x) = -1 + 1/(1-x)

_________________

(1+x)/(1-x) = 1/(1-x) + x/(1-x) = 1/(1-x) - 1 + 1/(1-x)

 

∫(1+x)/(1-x)dx = ∫ (1/(1-x)  - 1 + 1/(1-x)) dx =

∫ ( 1/(1-x) + ∫- 1dx + ∫1/(1-x) dx =

2∫ ( 1/(1-x) dx - ∫ dx =

_________

u = 1-x

du/dx = -1

dx = -du

_________

2∫ ( 1/(1-x) - ∫ dx = 2∫ ( 1/u -du - ∫ dx =

-2 ∫ ( 1/u du -  ∫ dx =

-2 ln(u) + C₁ - x + C₂ =

-2 ln(1-x) - x + C

C = C₁ + C₂