Parallelogramme und Quadrate

Question

Aufgabe:

Beweisen sie dass in einem parallelogramm die Quadrate über den Diagonalen zusammen ebenso groß sind wie die quadrate über den vier Seiten

Problem/Ansatz:

Ganze Aufgabe wenn möglich

Text erkannt:

5

Answer 1

Hallo,

drücke die Diagonalen \(\vec e\) und \(\vec f\) doch einfach in \(\vec a\) und \(\vec b\) aus. Es ist $$\vec e = \vec a + \vec b \\ \vec f = \vec a - \vec b $$und nun in die Annahme, dass die Quadratesummen identisch sind, einsetzen:$$\begin{aligned} 2 (\vec a^2 + \vec b^2) &\stackrel{?}{=} \vec e^2 + \vec f^2 \\ &= (\vec a + \vec b)^2 + (\vec a - \vec b)^2 \\ &= \vec a^2 + 2 \vec a \vec b + \vec b^2 +  \vec a^2 - 2 \vec a \vec b + \vec b^2 \\ &= 2\vec a^2 + 2 \vec b^2 \\ &= 2 (\vec a^2 + \vec b^2) \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$